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物理の計算で時々超関数なるものが出てくるのですが、
その超関数の定義を教えて下さい。

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10月19日に、レプトンさんは書きました。

＞物理の計算で時々超関数なるものが出てくるのですが、
＞その超関数の定義を教えて下さい。

先日、コーヒーブレイクにも書き込みましたが
そもそも関数とはｘに対して必ず対応するyが存在しないと
いけません。しかし、超関数とはxに対して必ずしもyが
決まらなくても良いとするのです。∞になったりするということです。

これ自体は定義ではないかもしれませんがこんな感じだと思います。
わかったかな？

間違ってたらご批評を。。

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1月25日に、ゆうじさんは書きました。

＞10月19日に、レプトンさんは書きました。
＞
＞＞物理の計算で時々超関数なるものが出てくるのですが、
＞＞その超関数の定義を教えて下さい。
＞
＞先日、コーヒーブレイクにも書き込みましたが
＞そもそも関数とはｘに対して必ず対応するyが存在しないと
＞いけません。しかし、超関数とはxに対して必ずしもyが
＞決まらなくても良いとするのです。∞になったりするということです。

まずは言葉の問題ですが、
すべてのｘに対して対応するｙが定まっていないような場合は
定義域が全体と言う訳ではないと言うだけの事で写像では有ります。
又値が実数値に限らず∞を許すような場合も測度論ではよくあります。

おそらく今問題にしているのは、δ関数 例えば
        0   if ｘ イs not equal 0
δ(x)={ 
        ∞  if ｘ＝０
  
この様な関数は、測度論の範疇では、∫_R δ(x)dx=0
となってしまいますが、∫_R δ(x)dx=1 となってほしい願望が有るのが論点です。
もう少し明確に問題意識を述べましょう。

問題意識  関数と関数の演算で畳み込みと言うものが有りました。
ｆ＊ｇ(x)=∫(0〜ｘ）ｆ(t)g(x-t)dt
この畳み込みの単位元 が欲しいと言う願望が有ります。i.e.
ｆ＊δ＝ｆ となるδです。
この様なδが存在すれば、上のような形になっている事が望まれます。
又 昔からこの様なδ関数を近似している（つまり関数空間の中で標語的に
δ関数に収束するような関数列）核関数というものは作られてまいりました。
（軟化子e.t.c,,,)

処がこの様な関数は例えばＬ^1_loc(Ｒ）（局所可積の空間）には
存在しない事が次のようにして分かります。

今存在すると仮定して、ｆ＊δ＝ｆ の両辺をFourier変換すると、
畳み込みはFourier変換で積に（Fourier変換の流儀によってはその定数倍に）
移りますから とにかく
δのFourier変換＝定数
が判ります。 これはRiemann-Lebesgueの定理に矛盾しています。

この様なδの存在を数学的にちゃんと保証して定式化しようと言うのが
問題意識です。

解決策１ （distributionの視点）

Von-Neumann 双対性定理 1/p +1/q = 1 の時
Ｌ^P(Ｒ）∋ｆ → （ｇ→∫_R f(x)g(x)dx)∈（Ｌ^q(Ｒ））^*(Ｌ^q(Ｒ）の双対空間）
は同型を与える。（写像のWelldefined性はHolder不等式から従います。）

を思い起こすと、集合として小さな関数空間の双対空間ほど集合として大きい事が
窺えます。
 
即ち、とても小さな関数空間の双対空間には存在しているのではないか？
という発想です。

この視点を思い起こすと私はDedekindの数学を回顧したくなりますが、
それは又別の投稿で

とにかく 例えばδ関数だったら 例えば Ｌ^1_loc(Ｒ）の双対空間の元 即ち
線形汎関数として、
δ：Ｌ^1_loc(Ｒ）∋Φ → Φ(0)∈Ｒ 
として考えるのです。 そしてδ（Φ）を気分的に
∫_Rδ(x)Φ(x)dx と書く事によって実在感を持たせるのです。
通常の関数はその関数と積分をとると言う事で自然にdistributionと見なせて
上の記法とマッチしています。
（詳細は例えば溝端先生の偏微分方程式の本を見て下さい）

解決策２ （Hyper functionの視点）

高次元の場合は面倒なので、一変数の場合だけですが、
例えばCauchy積分公式
f(z)=1/2πｉ∫_C f(x)/(x-z) dx 
（ｆやC等の説明が何もされていませんが文脈から判断して下さい）
を 閉曲線Cを実軸に潰していった時、
δ(z)=1/2πiz 
と置くと  少々強引でしょうが、 ｆ＝ｆ＊δ という雰囲気には見えないでしょうか？
もう少し雰囲気を出すために
δ(x)＝1/2πi(x+i0) - 1/2πi(x-i0) と書きましょう

又 
      0   if x<0   
Y(x)={ 
      1   if x≧0
と定めると 、この関数の微分はδ関数に成るはずですが、
逆に上式のδ関数を積分して
Y(x)=1/2πi (log(x+i0)-log(x-i0)) 
と置くと枝の取り方に注意が必要ですが、辻褄が合っています。

これを鑑みて この様な関数達は実軸上で正則でない関数の実軸上での境界値
と解するのです。つまり超関数の空間B(R)とは
B(Ｒ)={C-R 上正則な関数｝／｛Ｃ上正則な関数｝
と解されます。（暗にPanleviの定理などを使って定義を簡単に説明しておりますが
そこら辺は金子先生の超関数論の本を見て下さい）
 
解決策３ （擬微分作用素の視点）

これは例えば吉田耕作先生の演算子法の教科書を見て頂きたいのですが、
畳み込みの演算が非自明な零因子を持たない事を示して
（Weirestrassの多項式近似定理を使います）
この算法に関する商体を構成します。
そうすれば、勿論単位元もその中には含まれているという発想です。


＞これ自体は定義ではないかもしれませんがこんな感じだと思います。
＞わかったかな？

この一文を読んで数学を判ると言う事はどういう事か？
について書きたくなってきましたが、この投稿は長くなったので又別の投稿で

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1月25日に、lunatic moonさんは書きました。

えーっと。便乗質問になるんですけど。
「関数」と「超関数」の決定的な違いというのはどこにあるのでしょうか？

僕はてっきり前回自分が書いたものが超関数だと思っていたので。。。

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1月28日に、ゆうじさんは書きました。

＞1月25日に、lunatic moonさんは書きました。
＞
＞えーっと。便乗質問になるんですけど。
＞「関数」と「超関数」の決定的な違いというのはどこにあるのでしょうか？
自己レスです。

＞1月25日に、lunatic moonさんは書きました。
＞この様な関数は、測度論の範疇では、∫_R δ(x)dx=0
＞となってしまいますが、∫_R δ(x)dx=1 となってほしい願望が有るのが論点です。

これが、決定的な違いでしょうか。
普通の関数の積分では実現できないような結果を
出すために超関数というのを考える必要が出てきたと。

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1月28日に、ゆうじさんは書きました。

＞これが、決定的な違いでしょうか。
＞普通の関数の積分では実現できないような結果を
＞出すために超関数というのを考える必要が出てきたと。

超関数というのはdistributionの意訳で それからhyper functionなる概念も
生まれてきた訳ですが、定義を尋ねられたとしたら
全く持って言葉の問題ですが
どっちの事を尋ねているのかはっきりさせないと答えられません。

そこで、良心的な解答を目指すため
私は 問題意識とその対処策と言う形で超関数を紹介しました。
つまり超関数と言うのは有って欲しい関数なのですが
普通の関数としては存在しない事が証明できるのです。
（私の投稿を参照して下さい）
そこで従来の意味での関数としては存在していないものを、
どうやってformulateするか？ という対処策として色々な流儀を紹介しました。
これが、「関数」と「超関数」の違いです。

こういう事は例えば実数解を持たない2次方程式に解を持たせる為に
虚数なる概念を導入するように、昔から有る事で、
私はこのような事は数学的現象を慣例的な記法で表記する事への苦しみであって
本当の数学の難しさではないと思いたい という文脈で述べた事でした。

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下園です。
いつもお世話になります。＞lunatic moon
今までの流れをみると。
「関数」と「超関数」は包含関係の無い全く別々の
ものであると考えていいのですね。

「超関数は関数でない」のはわかりましたが、逆に
「関数は超関数に含む」ことはできないかなぁ。って考えてました。

lunatic moonさんって代数だけでなく解析の方も
かなり詳しいんですね。びっくりしてました。

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1月29日に、ゆうじさんは書きました。

＞今までの流れをみると。
＞「関数」と「超関数」は包含関係の無い全く別々の
＞ものであると考えていいのですね。
＞
＞「超関数は関数でない」のはわかりましたが、逆に
＞「関数は超関数に含む」ことはできないかなぁ。って考えてました。

これは私が説明が下手でした。もう一度書きますと
通常の関数をdistributionと見なすには、例えば、
適当な領域Ω上の関数空間Dの元ｆをD上の線形汎関数と見なすのは
D∋ｇ→ ∫_Ω f(t)g(t)dt ∈R として超関数と見なします。

ですから δ(f) を 実在感を持たせる為に
∫_Ω δ(t)f(t)dt
等と書いたりして話をマッチさせています。

＞lunatic moonさんって代数だけでなく解析の方も
＞かなり詳しいんですね。びっくりしてました。

煽てないで下さいよ（笑）
私は自分で言うのもなんですが 無類の数学好きですが、
人の業績ばっかり詳しい人は
カミを知る人 
（注 カミ（＝紙 ｐａｐｅｒ 論文の事））
と言って口の悪い人からは結構揶揄されます。 f(+_+;

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1月30日に、lunatic moonさんは書きました。

＞ですから δ(f) を 実在感を持たせる為に
＞∫_Ω δ(t)f(t)dt
＞等と書いたりして話をマッチさせています。
このレスを読んでて思い出したのですが昔、先生(物理）から「デ
ルタ関数はプログラミングできない。だから手計算でどうにかしろ！」
と言われたことがありました。レスを読んでいたらその意味がやっと
分かりました。
その当時は適当にデルタ関数のみを普通の関数に近似すればよい程度
にしか思っていなかったです。

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　お久しぶりです。
　その後もここはときどき読んではいるのですが、現在あまりにも多忙ゆえ、簡単な
書込みすらできずにいます。
　ゆうじ氏より「なぐり書きでもいいから」と言われたので、ちょっとだけ乱入：

　と、その前にlunatic moonさんへ。
　力の入った書き込み、ずっと拝見しています。いろいろと私なりの意見はあるので
すが（一般論にも具体例にも…）、上記のような事情で、なかなかレスが書けずにい
ます。２月末には〆切のある用事が大体一段落するので、いましばらくお待ちくださ
い。（超化石ＲＥＳとなりますがそれでよろしければきっと書きますので…。）

　で話を戻して超関数。

＞「関数」と「超関数」は包含関係の無い全く別々の
＞ものであると考えていいのですね。

　「普通の関数」は、「超関数」の特別な場合とみなせますよ。（でないと「拡張」
っていえないじゃん^^;）

　ただ、

＞普通の関数の積分では実現できないような結果を
＞出すために超関数というのを考える必要が出てきたと。

この理解センスは悪くないと思います。
　ちょっと一松信先生の文章を紹介：
-----------------------------------------------------------------------------
この種の理論はしばしば「関数概念の拡張」とよばれますが、拡張されたのは「対応と
しての関数の概念」ではなく、「微分操作の対象としての関数」なのです。むしろ「微
分概念の拡張」と理解したほうが近いでしょう。
------------------------------------------------------------------------------
　これは「数学点景」という一般向け解説書から取りましたが、他にもあちこちで同様
のことを書いておられます。上の引用では「微分概念」となっていますが、もちろん積
分概念も含みます。

　たとえばδ関数は、点関数としては「原点でのみ∞、他は0」という理解ででよいです
が、普通に積分する限り、（ほとんど至る所0ですから）0にしかならないはずです。そ
こで、積分の意味を「拡張」します。
　そのこと（積分概念が拡張されていること）を強調した解説というのはあまり見たこ
とがないので、ちょっと試みてみましょうか： たとえばシュワルツ流（distribution）
なら、

 _            def   ∫φ(t)f(t)dt   if f∈L^1_loc(R)
 ∫φ(t)f(t)dt  =  {
                    適当にうまく定義(^^;)    if f is その他

（ここでφは、適当に性質の良い小さい関数空間（コンパクト台でなめらかとか、急減少
とか）の元。積分範囲はすべてR全体ということで省略。）
　という感じかな。∫の上に−をつけて、「拡張された意味の積分」であることを強調
しました。fが普通（L^1_loc(R)の元）なら普通どおり。肝心の「その他」は書かずに
ごまかしましたが（今は詳細でなく位置づけの話なので）、f = δ の場合は

 _            def
 ∫f(t)φ(t)dt  =  φ(0)

とするわけで、結果的に
 _          _
 ∫δ(t)dt = ∫δ(t)・1 dt = 1

になると。
　微分演算も、やはり（普通の意味で微分可能な関数の場合は普通の微分と一致するよ
うに）拡張します。

　佐藤流（hyperfunvtion）だと、（fを「表す」というか、対応する 複素関数（の同
値類）Fを考えて） 
 _           
 ∫f(t)dt = -∫F(z)dz （複素一周積分）

という感じか。

　ミクシンスキー流（演算子法）だと、

 _ t       def
 ∫ f(t)dt  =   f * H (t)
　 0

（ H(t) はヘビサイド関数、*は畳み込み演算）で、この*を商体上に拡張するので、
δは*の単位元として

 _ t
 ∫  δ(t)dt = δ * H (t) = H(t)   （ =1 if t>0）
   0

という感じ。

　なぐり書きというか、適当に書き込みながら考えてるので（そういえば、書き込み中に
間違ってESCだったかを押したら「リセット」しちゃって、書きかけの文章が消えてしま
う仕様なんとかならない？＞管理者）、細部は不備があると思いますが、イイタイコトは
伝わったろうということで…。オシマイ^^;

　それでは２月末にまたお会いしましょう...

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1月31日に、ようさんは書きました。

＞＞「関数」と「超関数」は包含関係の無い全く別々の
＞＞ものであると考えていいのですね。
＞
＞　「普通の関数」は、「超関数」の特別な場合とみなせますよ。（でないと「拡張」
＞っていえないじゃん^^;）
＞

なるほど。
じゃ、
「実数」から「複素数」への拡張
「リーマン積分」から「ルベーグ積分」への拡張
と同様に
「関数」から「超関数」への拡張っと捉えていいのですね。

ここで疑問が生じるのですが、「超関数は、関数空間の元として
存在することができるのでしょうか？」もしできないとしたら
「超関数空間」なんてものが存在するのでしょうか？
かなり、アバウトな質問ですが。。。

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＞2月1日に、ゆうじさんは書きました。
＞:
＞ここで疑問が生じるのですが、「超関数は、関数空間の元として
＞存在することができるのでしょうか？」もしできないとしたら
＞「超関数空間」なんてものが存在するのでしょうか？
＞かなり、アバウトな質問ですが。。。

　呼んだ？(^^;
　んもー、忙しいって言ってるのにぃ〜(汗)
（あと数時間しか自宅にいられないっっ。帰宅は３日後…）

　でもこれは例え話でよければ簡単に返事できそうなので書きませう... :

　てゆーかこれ、アバウトはいいんだけど、なんか幼稚っぽくない？（←うまい言葉がみつから
なくてゴメン）。
　複素数を知らなかった人が、「実数を複素数に拡張できる」と聞いて、「複素数は、数空間の
元として存在することができるのでしょうか？」と尋ねているようなもんです。この例で質問者
は“数空間”をどう考えて述べているんでしょうか。「実数空間（数直線？）には存在しないけ
ど、複素数空間（ガウス平面？）というのはたしかにあって…」と説明すればいいのかな？…と
か、悩むでしょ。

　まあこれと似たようなことです。ゆうじ君は“関数空間”って何だと思っているのかな？？？
普通の（？）関数空間、つまり「実数を実数に対応させる写像」の集合には、超関数が存在して
いないことは確かですね。
　だから（シュワルツ流の場合でいえば）「関数を数に対応させる写像」の集合を考えて（これ
を“関数空間”の一種と思うか、ナニ空間と呼ぶか、なんてのは言葉の問題にすぎないからいい
として）、それを「超関数」と思おうとしているわけです。

　それだと、普通の関数と超関数は全然別物ってことになりますが、「複素数」の場合でも、論
理的定義としては「実数の組(a,b)に適当な構造を入れたもの」だから、本来の実数そのものと
は別物ですよね。ただ、(a,0)という形の部分集合が、いろいろな意味で実数と同型になるので、
それを実数と同一視することによって、「実数は複素数の一部」「複素数は実数の『拡張』」
と考えるわけでしょ。同様に、普通の関数f(t)（L^1_loc(R)の元とか）を、関数φ(t)に実数
∫_R φ(t)f(t)dtを対応させる写像とみなせば、めでたく超関数の一部と考えてよいことにな
る…という感じ。

　でわでわ、２月末までごきげんよう〜 (^_^;)/~~

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2月1日に、ようさんは書きました。

＞ゆうじ君は“関数空間”って何だと思っているのな？？？

僕にとって”関数空間”は”フーリエ級数で表現できる関数のあつまり”です。

けど、ようさんの記事を見て安心しました。

今まで、関数解析の本で超関数を見たことなかったので（勉強不足）
「超関数」と「関数解析」がつながってるっというのに魅力を感じました。

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1月31日に、ようさんは書きました。

＞　と、その前にlunatic moonさんへ。
＞　力の入った書き込み、ずっと拝見しています。いろいろと私なりの意見はあるので
＞すが（一般論にも具体例にも…）、上記のような事情で、なかなかレスが書けずにい
＞ます。２月末には〆切のある用事が大体一段落するので、いましばらくお待ちくださ
＞い。（超化石ＲＥＳとなりますがそれでよろしければきっと書きますので…。）

RES宜しくお願いします。 
ようさんの超関数の説明を読んで自分が説明下手な事を痛感しました。

一つの数学概念を説明して下さい といって色んな人に
色々自己流の説明で解説を書きあうのは思い入れの入れ方とか出てきて
面白いかも知れませんね

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2月1日に、lunatic moonさんは書きました。

＞1月31日に、ようさんは書きました。
＞
＞＞　と、その前にlunatic moonさんへ。
＞＞　力の入った書き込み、ずっと拝見しています。いろいろと私なりの意見はあるので
＞＞すが（一般論にも具体例にも…）、上記のような事情で、なかなかレスが書けずにい
＞＞ます。２月末には〆切のある用事が大体一段落するので、いましばらくお待ちくださ
＞＞い。（超化石ＲＥＳとなりますがそれでよろしければきっと書きますので…。）
＞
＞RES宜しくお願いします。 
＞ようさんの超関数の説明を読んで自分が説明下手な事を痛感しました。
lunatic moonさんがSiteのレベルを上げてくれるので
こちらとしてはとてもうれしいですよ。
ただ、「素朴な疑問から専門的な議論」をどのようにしたら
共存していけるかっというのはやっぱり考えますね。

初めて訪問した方が議論に参加、または新規書き込み
しやすい体系にしたいです。

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2月4日に、ゆうじさんは書きました。

＞ただ、「素朴な疑問から専門的な議論」をどのようにしたら
＞共存していけるかっというのはやっぱり考えますね。

これは、難しい課題だと思います。
質問される内容や議論される内容よりも、
そういう質問やら議論をする側の意識の在り方、目指している所
というものを、はっきりとスローガンにしないといけないと思います。

私は大学院生以上の方が日頃考えるような数学に纏わる様々なテーマぐらいを想定して
今迄議論を吹っかけていました。
しかし

＞初めて訪問した方が議論に参加、または新規書き込み
＞しやすい体系にしたいです。

‘誰でも来るもの拒まず‘
という姿勢をとりますと議論の的が絞れなくなると思います。
私の投稿がもし不適切ならば やはり私はそろそろ
数学会議室を去ろうと思います。

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2月5日に、lunatic moonさんは書きました。

＞＞初めて訪問した方が議論に参加、または新規書き込み
＞＞しやすい体系にしたいです。
＞
＞‘誰でも来るもの拒まず‘
＞という姿勢をとりますと議論の的が絞れなくなると思います。
＞私の投稿がもし不適切ならば やはり私はそろそろ
＞数学会議室を去ろうと思います。

この辺は管理人の技量だと思うので
どうにか頑張っていくつもりです。
ところで私信メイル届きましたでしょうか？

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1月31日に、ようさんは書きました。

＞こで、積分の意味を「拡張」します。
＞　そのこと（積分概念が拡張されていること）を強調した解説というのはあまり見たこ
＞とがないので、ちょっと試みてみましょうか： たとえばシュワルツ流（distribution）
＞なら、
＞
＞ _            def   ∫φ(t)f(t)dt   if f∈L^1_loc(R)
＞ ∫φ(t)f(t)dt  =  {
＞                    適当にうまく定義(^^;)    if f is その他

さすが ようさん！ とても分かりやすいです。イメージが湧きます。
なるほど、積分の意味を「拡張」しているのですね。'適当にうまく
定義(^^;)'のところがとても分かりやすいです。
’L^1_loc(R)’は私には勉強不足で分からないです。定義すら知りません。
もしよかったら暇になったときにでもこの解説をお願い致します。