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確か、2年生の後期に位相の授業を受けた
記憶があります。
そして、サッパリ分からなかったと言う
事だけを良く覚えています。

これを機会に、無理をせず、気長に
位相に触れることが出来ればいいなァ
と考えています。

次の投稿では何か質問をしたいです。

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10月5日に、AEGさんは書きました。

＞確か、2年生の後期に位相の授業を受けた
＞記憶があります。
＞そして、サッパリ分からなかったと言う
＞事だけを良く覚えています。
確かに位相空間は抽象的だよね。開集合を基本として
位相空間が定義されているのは分かるけど、それ以上
の事がわからない。って感じで。

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10月5日に、ぞのっぺさんは書きました。

＞確かに位相空間は抽象的だよね。開集合を基本として
＞位相空間が定義されているのは分かるけど、それ以上
＞の事がわからない。って感じで。
今日は開集合の定義を復習した。
ある意味、位相空間の定義は代数演算で閉じてる
ようなものだなって思った。
１）全集合、空集合を含み
２、３）開集合の和集合と積集合についても閉じている。（；¬＿¬） ぁ ゃι ぃ。

σ-集合体の定義もこれに似てるようなー。

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11月より、実験的にオンラインゼミを行います。
基本的な流れは、個々人でテキストを読みながら
オンライン上でわからないところがあったら皆に
聞いてみて、みんな理解できた段階で次のセクションに
入っていくやりかたで勧めます。

リーダーを一人きめてその人に議論の進行をやってもらいます。
リーダーは参加者で定期的に分担します。

今のところの参加者は、僕、AEG、レプトンの三人です。
一応、オブザーバーとして萌先生についてもらいます。

「オンライン」だけの議論では多少、つかみどころの無い
ものになってしまいますが、オフラインで共通のテキストを
自分で勉強しながら、疑問点を「オンライン」で質問すれば
具体的に相手の聞きたいことなどがわかるのでスーマートに
ゼミが行えるかなー。っという意味の実験室です。

11月いちじつより、開始します。それまでは、参加者がいたら
この記事にレスしてくれたらオッケーです。10月29日締め切り
で、30,31は参加者でリーダー分担などの具体的な話をします。

使う本は「位相への30講」　著：志賀浩二　です。

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10月25日に、ゆうじさんは書きました。

＞使う本は「位相への30講」　著：志賀浩二　です。

募集締め切りましたので、さっそく方針を書きたいと
思います。11月1日からの予定ですので今日、明日の内に
「１講、２講」を読んでおいてください。最初のうちは
簡単だと思うのでペースは早くしときます。
全員理解できたら次の講に入ります。

必ず、自分の状況をレスしてください。
それでないと、進んでいいもんか悪いものか
わからないので。。

それでわ、一ヶ月間よろしくおねがいします。

リーダーは一週間ごとに
ゆうじ→AEG→レプトン→ゆうじ、で進行します。

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10月30日に、ゆうじさんは書きました。

＞必ず、自分の状況をレスしてください。
＞それでないと、進んでいいもんか悪いものか
＞わからないので。。
＞
AEGです。

予定通り、１、２講は読んでおきました。

今回のように、特に疑問が残らないセクションの
場合は、進行状況だけをお伝えすれば良いのでしょうか？
それとも、必ず１つのセクション毎に（確認も含めて）
話し合いをするといった方針なのでしょうか？

とりあえず、私の進行状況まで。

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＞予定通り、１、２講は読んでおきました。
＞
＞今回のように、特に疑問が残らないセクションの
＞場合は、進行状況だけをお伝えすれば良いのでしょうか？
＞それとも、必ず１つのセクション毎に（確認も含めて）
＞話し合いをするといった方針なのでしょうか？
＞
＞とりあえず、私の進行状況まで。

了解しました。疑問が残らない場合は、そのセクションの
自分なりのポイントを箇条書きにでも書いておいてください。
お願いします。

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少しだけど箇条書きで

開集合の定義は「近傍」で定義され
閉集合は「点の収束」で定義されている。
p19の図17の(b)、(c)の例はどんなもんかと思う。
特に(b)の「点線のアンテナ」は意味不明。どんなもんだろう。

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レプトンさんは風邪で学校に来てないそうです。
明日から参加するとのことです。
AEGは[3講]も余裕？

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＞AEGは[3講]も余裕？

開始早々で申し訳ありませんが、
今日は色々と忙しいので、明日必ず
３講のレスをしたいと思います。

決してサボっているわけではありませんよ。

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みんなが参加しないとゼミにならないので（笑
本日はお休みにします。
また、レプトンさんも参加できたら再開しようと思います。
次回は、一応4講からの予定ですが、前講でわからなかった
ところがあったらそこも補充していきます。
無理に進んでも身にならないと思うので、じっくり行くつもりです。

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＞開始早々で申し訳ありませんが、
＞今日は色々と忙しいので、明日必ず
＞３講のレスをしたいと思います。

嘘つきました。すいません。
コーヒーブレイクにも投稿しました。

今晩遅くにでも３講の投稿します。

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11月5日に、AEGさんは書きました。
＞
＞今晩遅くにでも３講の投稿します。

レプトンさんも風邪から復帰したようなので
もうじきゼミ復活するでしょう。
早く、位相の本題に入りたいですね。

もし、このオンラインゼミが成功したら
オンラインゼミ専用の部屋を作ろうと
思っています。

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遅れましてすみません。
早速ではありますが、疑問を少々・・・

開集合、閉集合の基本的性質の項目で、
２つの開集合の共通部分もまた開集合、
２つの閉集合の和集合もまた閉集合である、
とありました。

そして、章末のティータイムで、
無限個の開集合、閉集合の共通部分、和集合について
述べられていました。
最後のところに書いてあった、
"これは数直線上で開集合でも閉集合でもない"
ってありますが、これは何なのかさっぱりです。

最初の所に書いてあったアンテナ？

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11月5日に、AEGさんは書きました。

＞遅れましてすみません。
＞そして、章末のティータイムで、
＞無限個の開集合、閉集合の共通部分、和集合について
＞述べられていました。
＞最後のところに書いてあった、
＞"これは数直線上で開集合でも閉集合でもない"
＞ってありますが、これは何なのかさっぱりです。
＞
＞最初の所に書いてあったアンテナ？

すいません。また嘘書きました。
本当に書きたかったことは、
最初の所に書いてあったアンテナの隣の例でした。

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11月2日に、ゆうじさんは書きました。

＞開集合の定義は「近傍」で定義され
＞閉集合は「点の収束」で定義されている。
＞p19の図17の(b)、(c)の例はどんなもんかと思う。
＞特に(b)の「点線のアンテナ」は意味不明。どんなもんだろう。

疑問解決。
(b)の点線のアンテナは、開集合の点ではなくて、飛び地のような
集合だそうです。良く見たら確かに点の長さが各々違う。。びみょー。

(c)は開集合と閉集合の融合で、閉集合でも開集合でもない例。

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＞それとも、必ず１つのセクション毎に（確認も含めて）
＞話し合いをするといった方針なのでしょうか？

そのような方針で行こうとは考えてますが、１,２講は
例外とします。（あまりにお話的すぎる内容なので。

とりあえず、１講の内容をざっと書いてみます。
まず、「近さ」の概念の強調をここでしています。
近さとは単に「長さ的な考え」に限らず「時間」でも
オッケーなんだよ。ってことを行ってます。

また、現代人にとっては小学生の時から付き合ってるので
当たり前にしか思えないのですが距離というのは数直線上で
考えるといいことが書いてます。また、２点の大小関係が
問題になるのではなく、ここでは、この２点間の距離という
ものに焦点をあててます。

p4,5では絶対値の性質から、距離の性質をほのめかすように
上手く仕組まれています。というか、ここの絶対値の性質を
見た瞬間、僕はコレ距離の性質のことそのままじゃん。っと
思ってしまいました。僕だけかな？
�@）正値性
�A）対称性
�B）三角不等式

�@）「正値性」は、距離だからトーゼン正の値をとってくれないと困るト。
負の値でもわからんでもないが、とりあえずここでは向きは考えない
ので勘弁してくれといってる性質。

�A）「対称性」。これは、どっちから長さを計っても長さは同じだよ。って言ってる。

�B）これは俗にいう「犬でもわかる三角不等式」。寄り道すれば、帰りも遅くなるよ。と。

実は、僕は、高校の時、三角不等式があまり好きじゃなかった。
こんなアタリマエナものを「なんでわざわざ主張するの？」って感じで。
今は、まぁ、なんとも思わなくなったけど。。。

まぁ、建前で言っとくと、この�B）が一番、計算をする上で一番使われるので大事みたい。
d（ｘ、ｙ）の間に、おじゃまむしｚを介入させてやってｄ（ｘ、ｚ）、ｄ（ｚ、ｙ）という
のを考えてそれぞれが0に収束するのでd（ｘ、ｙ）も0となる。なんてゆうのがよくある。
（↑かなりいい加減な設定なので、流してくれて結構です。）

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AEGです。

それでは、早速３講のほうを読んでいきたいと
思います。

前回は、どんなことを投稿したら良いか
戸惑ってしまいましたが、これからは、色々なことを
どしどし投稿していきたいと思います。

まずは、明日の記事から（本格的？）スタート予定です。

宜しくお願いします。

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11月2日に、AEGさんは書きました。

＞宜しくお願いします。

おうよ。よろしくベイベー。CoffeeBreakの部屋も
つかちゃってね。ところでレプトンはどこに行ったんだろう？
家で寝てるのかな？
じゃ、僕も今から3講やりまーす。昨日は夜中ギリギリでやったけど
今日は午前中にやるぞ！

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１、２講はすんなり読めました。

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[2講]について簡単に内容を書きます。

[1講]の距離の性質を平面にまで拡張したことが前半に書いてあって
それから、点列の収束のお話が書いてあり、そこでついでに近傍の概念も
紹介してある。この辺でδ―ε論法を使った表現になってるので
レプトンさんはちょっと躊躇するかもしれません。もし、なんか？って
あったら質問してください。
この辺から極限値などでてくるので位相らしくなってきました。

「位相構造」というのは、極限操作をするようなものを考える世界だと
思ってくれていいと思います。

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[1,2講]は内容が容易なのでさらっと終わってしまいました。（笑
何かポイントに抜けが無かったか心配ですが。。

できる限り、対話形式に話を展開したゼミにしたいので
ちょっとでも思ったこと、考えてることなどが
あったら書き込みしてくれると助かります。



明日の[３講]は「開集合と閉集合」です。

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４講目に入ります。とつにゅー。

ここでは、「集積点」という言葉が始めに出てきます。
レプトンさんは聞きなれない言葉かもしれません。
ようは、「相異なる点列」を考え、そいつがなにかに
収束するとき収束点を集積点というようです、
収束点と何が違うかというと、点列が絶対、同じ点で無い
異なる点であることがポイントのようです。

それから、次に集積点を用いて３講でやった開集合と
閉集合を見ていきます。そこで問題になるのが開集合の
境界点の存在問題です。存在するのですが、それをちゃんと
証明するために実数の連続性を説明して、最後のコラムで
存在証明してます。実数の連続性も、慣れてなかったらちょっと
大変なところかもしれません。逆に知ってたら、別に
なんともない話題で、最後の証明をみたらすんなり存在を
認めることができると思います。

ざっと、読んで一応書き込みしたので、夜にでもまだ
疑問があったら書き込みします。（根堀葉堀読んだらありそう。。。

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>開集合の定義は「近傍」で定義され
>閉集合は「点の収束」で定義されている。

　集合Ｅが「開集合」であるとは、Ｅのどの点も、Ｅの点で「護られている」場合です
ね。この「Ｅの点で護られている」（十分小さな近傍がＥにすっぽり入る）点をＥの「内
点」と呼ぶので、「すべての点が内点であるような集合」ともいえます。

　いっぽう、集合Ｅが「閉集合」であるというのは、Ｅの点で近似できるような点はすべ
てＥに含まれている場合ですね。この「Ｅの点で近似できる」（Ｅの点列の極限になって
いる）点をＥの「触点」と呼ぶので、「すべての触点を含むような集合」ともいえます。

　このように、「開集合」と「閉集合」は基本的な発想も、その利用形態も、かなり異な
っています。
　ただ、名前が「開」と「閉」で表裏みたいになっているし、一次元だと基本的に「開区
間」と「閉区間」なので、端点を含むか含まないかの違いだけになっちゃうし、位相空間
の定義に使われるときは双対的だし、実際「開集合の補集合は閉集合、閉集合の補集合は
開集合」になるわけですが、それらはすべて結果論で、やっぱり開集合とは「外気に直に
触れている点がひとつもない」、閉集合とは「極限操作に関して閉じている小宇宙」とい
う、まったく異なる発想でとらえるべき概念という気がします。集合算に対するふるまい
は似ているけど…。（それも結果論？）

＃ 「開集合」の真の双対は「閉集合」ではなくて「コンパクト集合」ではないか、とい
う話も…

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11月7日に、ようさんは書きました。

＞>開集合の定義は「近傍」で定義され
＞>閉集合は「点の収束」で定義されている。

＞　このように、「開集合」と「閉集合」は基本的な発想も、
＞その利用形態も、かなり異なっています。

＞
＞＃ 「開集合」の真の双対は「閉集合」ではなくて「コンパクト集合」ではないか、とい
＞う話も…

コンパクトとは、「完備な全有界」。
つまり、完備で、上と下に上限、下限が存在することですよね。

また、コンパクトの別の定義の仕方で、「部分列の収束」がありますが
これは「閉集合」の定義とアナロジーがありますね。閉集合の定義を
緩めたものがコンパクトなのかなぁ。部分列が収束だから、数列自体は
収束してもいいけど、一般には振動してる形になるのかな。
まぁ、この辺は先の講に行ったらわかると思うので、楽しみにしとこう。

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とつぜんですがｐ１７で ”Ｂ:Ｂ”とは何を表わ
しているのですか？

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11月7日に、レプトンさんは書きました。

＞とつぜんですがｐ１７で ”Ｂ:Ｂ”とは何を表わ
＞しているのですか？

早速返事です。

Ｂ：Ｂ　で一つのかたまりとして読むのでは無く、
Ｂの性質を表すと言う意味で、
Ｂ：（Ｂの持つ性質）と言う記法になっています。

よろしいでしょうか？

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11月7日に、AEGさんは書きました。

＞早速返事です。
＞
＞Ｂ：Ｂ　で一つのかたまりとして読むのでは無く、
＞Ｂの性質を表すと言う意味で、
＞Ｂ：（Ｂの持つ性質）と言う記法になっています。

返答ありがとう。
" Ｂ： "と書いて" Ｂ の持つ性質 "と言う意味になるのか。
物理の本では見かけない書き方ですね。

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空集合φが開集合と閉集合になれる
という定義のイメージがつかめません。
空集合φが集合であると言うのは何と
なく分かるのですが・・・

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11月8日に、レプトンさんは書きました。

＞空集合φが開集合と閉集合になれる
＞という定義のイメージがつかめません。


このことは、開集合と閉集合の性質における
共通集合が、またそれぞれ開集合、閉集合になる
という性質を成り立たせるために必要です。

具体的に言えば開集合の性質で言えば
P20の（O2）の性質を成り立たせる
のに必要です。

お互いに交わりのない2つの開集合をＯ1、Ｏ2とすると
Ｏ1∩Ｏ2は当然交わり無いので空集合となります。
そこで、空集合も開集合であるとここで約束しとけば
（02）という性質が成り立ちます。


これがわかれば、P22の（F1）の性質を保つために
空集合は閉集合でもあることが要請されることも
同じで考えであることがわかると思います。

うーん、またわかんなかったら質問してください。

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11月8日に、レプトンさんは書きました。

＞空集合φが開集合と閉集合になれる
＞という定義のイメージがつかめません。
＞空集合φが集合であると言うのは何と
＞なく分かるのですが・・・

　すでにゆうじ君がフォロー済ですが、私からも一言。
　この件に関して「イメージ」をつかむ必要はありません。
　空集合については、どのみち開集合や閉集合の定義に照らしようがないので、「どうで
もいい」のです。
で、「どちらでもない」とするよりは、「両方である」とするほうが、形式的に「便利」
なので、そう「約束」するだけ。

　数学ではよくやることです。たとえば０！＝１と「約束」するとか。

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実は閉集合とコンパクト集合の明確な違いがわかってないです。（恥

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11月7日に、ゆうじさんは書きました。

＞実は閉集合とコンパクト集合の明確な違いがわかってないです。（恥

わからないのが気持ち悪くて調べてみました。
位相30講の[５講]のコラムにその話題がのってました。

コンパクト=閉集合＋有界
と。

僕はてっきり円板のイメージで「閉集合」は初めから
有界なものであると思ってました。逆にいえば、有界で
ない閉集合というのがどうもしっくりこないです。そのような
ものをイメージしようとすると、単に線形空間の部分平面みたいな
ものしか思いつかないのですが。。。けど、それは開集合ではないか？
って思ってしまったり。。

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11月8日に、ゆうじさんは書きました。

＞僕はてっきり円板のイメージで「閉集合」は初めから
＞有界なものであると思ってました。逆にいえば、有界で
＞ない閉集合というのがどうもしっくりこないです。そのような
＞ものをイメージしようとすると、単に線形空間の部分平面みたいな
＞ものしか思いつかないのですが。。。けど、それは開集合ではないか？
＞って思ってしまったり。。

　有限次元線型空間の線型部分空間は、自動的に閉集合です。

　平面を全空間と思うとき、平面全体は開集合（したがって閉集合かつ開集合）ですが、
三次元空間に埋め込まれていると考える場合は、開集合ではありません。（「近傍」が円
ではなく「球」になることに注意）

　有界でない閉集合の例としては、ｘ軸を含む上半平面とか。あるいは、平行線で囲まれ
た帯状領域とか。境界線を含めば閉集合、含まなければ開集合。

　前に書いたように、閉集合は「極限が外に出ない」、開集合は「すべての点が内点」と
いうのが定義なので、ちゃんとこの定義に照らして考えましょう。言葉に惑わされずに。
「開いているから開集合」とか考えるパターンじゃだめです。上半平面は上に「開いて」
ますが、（含むかどうかチェックの必要な）境界点もないでしょ？

　コーヒーブレイクで紹介した文にあったように、「円板」のような「親しみのもてる実
例」で本質的な発想やイメージを把握することも大切ですが、それだけでなく、「言葉に
惑わされずに抽象的な構造を把握すること」「そのために、さまざまな実例を（極端な例
も含めて）知ること」も大切です。
　位相空間論のほんとうの目的は、関数空間や高次元空間などの目に見えないものを扱う
ことであり、そのとき頼れるのは論理だけですから、普通の平面や空間でイメージを固め
結果を予想しつつも、いったん定義を決めたらその定義にのみ従って論理だけで考えなけ
ればなりません。
　定義に入ってもいない有界性を勝手に（イメージに）つけ加えていたり、線型空間の部
分平面が開集合か否か、閉集合か否かを、定義でなく（言葉やイメージなどの）感じだけ
で判断しようとしているあたりに、どうもまだ方法論的問題が残っているような…。そん
なことでは直感のきかない世界に論理を武器として踏み込んでいく（それが現代数学！）
ことができません。

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＞　定義に入ってもいない有界性を勝手に（イメージに）つけ加えていたり、線型空間の部
＞分平面が開集合か否か、閉集合か否かを、定義でなく（言葉やイメージなどの）感じだけ
＞で判断しようとしているあたりに、どうもまだ方法論的問題が残っているような…。そん
＞なことでは直感のきかない世界に論理を武器として踏み込んでいく（それが現代数学！）
＞ことができません。

よくわかりました。ありがとうございます。
イメージを持つさいにはできるだけ[定義]どおりのイメージをしっかり持てるように
なるのが重要なんですね。あと、先に進むときはイメージまでも排して、定義のみを
忠実に適用して進んでいくと。今回を機にかなり勉強になりました。

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追加フォロー。

＞僕はてっきり円板のイメージで「閉集合」は初めから
＞有界なものであると思ってました。逆にいえば、有界で
＞ない閉集合というのがどうもしっくりこないです。

　それって、（閉集合と間違えて）コンパクト集合をイメージしてたってことじゃないか
と思います。
　名前を「コンパクト集合」に訂正した上で、その（もとの）イメージは温存する価値が
あるかも…

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なかなか、3講は議論のネタがあったようなのでまとめときます。

集合とは大きく分けて4つあります。
・開集合（open set）・・・近傍で定義。
・閉集合 (close set)・・・収束する点列の収束点が閉集合内に収まる。
・開かつ閉集合（開集合であり、かつ閉集合）
・開集合でも閉集合でもない集合

僕がここで初めて知ったことは、3番目の「開かつ閉集合というものが存在する！」
ってことです。今まで、open set と close set (日本語じゃ開と閉が区別しにくいので
英語で書きます。)は対比的なものだと思ってたので、ちょっと新鮮でした。

今まで、開集合の定義の否定が閉集合の定義だと誤解してた。

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11月9日に、ゆうじさんは書きました。

＞集合とは大きく分けて4つあります。

　なんか大げさですね^^;。
　前に書いたように、開集合と閉集合の定義は本来それぞれ別の発想にもとづいていて、
いちばん自然な定義（「極限について閉じている」「すべての点が内点」）でみても何の
関係もないのだから、ある集合が「開集合になるかならないか」と「閉集合になるかなら
ないか」は独立な話であると。ただそれだけのことじゃないですか。
　「開」「閉」という言葉に惑わされないで！（もっと適切な名前があったかと言われる
と何も浮かばないけど…）

＞僕がここで初めて知ったことは、3番目の「開かつ閉集合というものが存在する！」
＞ってことです。

＞今まで、開集合の定義の否定が閉集合の定義だと誤解してた。

　これも名前からかな？ 定義をどう読んでも一方が他方の否定には見えないし。
ただ、結果論として、「閉集合の補集合は開集合である」という「定理」は成り立ちま
す。                          ^^^^^^
（これも「閉と開は反対だから自明」なんて思っては駄目です。定義から「証明」すべき
ことがらです。）
＃ 流儀によっては、この定理のほうを「定義」にすることはあるけれど。

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＞
＞＞僕がここで初めて知ったことは、3番目の「開かつ閉集合というものが存在する！」
＞＞ってことです。
＞
＞＞今まで、開集合の定義の否定が閉集合の定義だと誤解してた。
＞
＞　これも名前からかな？ 定義をどう読んでも一方が他方の否定には見えないし。
＞ただ、結果論として、「閉集合の補集合は開集合である」という「定理」は成り立ちま
＞す。                          ^^^^^^
＞（これも「閉と開は反対だから自明」なんて思っては駄目です。定義から「証明」すべき
＞ことがらです。）
＞＃ 流儀によっては、この定理のほうを「定義」にすることはあるけれど。

そうです。かなり名前に惑わされてました。
30講シリーズも今まで、流し読み程度でしか恥ずかしながら読んでませんでした。
今まで位相は苦手でしたが、以外と最近おもしろいかなー。って思えるように
なっています。やっぱりちゃんと勉強すると、新しい発見があってうれしいです。

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11月21日に、ゆうじさんは書きました。

＞＞＞今まで、開集合の定義の否定が閉集合の定義だと誤解してた。
＞＞
＞＞　これも名前からかな？ 定義をどう読んでも一方が他方の否定には見えないし。

　ちょっと補足というか自己フォロー。

　「境界点」という概念を導入すると、閉集合＝境界点を全て含む; 閉集合＝境界点を全
く含まない;  となりますから、一方が他方の否定ではないけど（「全て」の否定は「全
く」ではない）、対比的な感じになりますね。
＃ 開集合／閉集合の“本来の”定義は「極限が外に出ない」／「すべての点が内点」だ
と思っているので、境界点を用いた特徴づけは派生的というか結果論ではないかとは思う
けれど。

　実際、閉集合／開集合を最初に教えるときは、閉区間／開区間や閉円板／開円板を典型
例として、境界線を含むか含まないか（高校数学の「不等式と領域」でいうと、不等式に
等号があるかないか。絵では、境界線が実線か点線か。）がポイントであると強調するの
で、対比的にとらえるのは無理もないと思いました。


　「開かつ閉という集合が存在する」ことが認識しにくかった問題は、上の捕らえ方で見
ると、「境界点をもたない集合が存在する」ことが認識されていなかっただけとも考えら
れますね。そのへんを注意しない教科書も悪い？
　あでも、「内点をもたない集合」は割と普通なので認識しやすいし例にもよく出てく
るんだけど（数直線における有理数全体とか）、「境界点をもたない集合」というのは本
質的に全空間（と空集合？^^;）だけなので、仕方ないか。
＃ 非連結空間の各連結成分の場合（30講でもそのうち出てきます）は、「相対位相」で
考えての話だから、「全空間」が複数バラバラにある感じ、かな。


余談：Ｎ先生の「数学要論」試験で、「次の集合が閉集合か開集合かどちらでもないか判
定せよ。それぞれの閉包と開核を求めよ」の出来が悪かったのは、「数直線上の有理数全
体」の場合だったみたいです。
　このゼミのメンバーならもう分かりますよね^^;

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＞＃ 開集合／閉集合の“本来の”定義は「極限が外に出ない」／「すべての点が内点」だ
＞と思っているので、境界点を用いた特徴づけは派生的というか結果論ではないかとは思う
＞けれど。
＞
開集合が「すべての点が内点」で
閉集合が「極限が外に出ない」でよろしいんですよね。
順番が逆だったんでちょっと気になったんですけど。。

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11月23日に、ゆうじさんは書きました。

＞開集合が「すべての点が内点」で
＞閉集合が「極限が外に出ない」でよろしいんですよね。
＞順番が逆だったんでちょっと気になったんですけど。。

　そうです。
　他にも「閉」と「開」の書き間違いがあるけど、わかるからいいよね^^;

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11月25日に、ようさんは書きました。

＞11月23日に、ゆうじさんは書きました。
＞
＞＞開集合が「すべての点が内点」で
＞＞閉集合が「極限が外に出ない」でよろしいんですよね。
＞＞順番が逆だったんでちょっと気になったんですけど。。
＞
＞　そうです。
＞　他にも「閉」と「開」の書き間違いがあるけど、わかるからいいよね^^;

でわ、この記事の後のレスを後でしときます。
なんか問題があったので。
できるかちょっと不安だけど。

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３３ページの問２が疑問でした。

ぼくは、ｍもｎも一緒に無限大まで動かさなければならないと
思っていたので、集積点は０だけじゃないかと思っていました。

でも、ｍを固定してやって、ｎを自由に動かせば，
集積点は　１／ｍ　になりますよね。

それで、ｍも自由に動かせば、１／ｍ　は集積点が０の点列に
なります。

集積点もまた０を集積点とする点列になっている。
こんな表現で良いのでしょうか？

表現力がないので上手く説明できなかったです。
イメージはスゴク明快にをわきましたが。
先生ありがとうございました。

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11月9日に、AEGさんは書きました。

＞３３ページの問２が疑問でした。

この問題はまさに集積点と収束点の違いを明確に
表してる問題なのかもしれないですね。

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どうにか４講も読み終えて安心していたけど
ゆうじさんのこのレス

＞11月9日に、AEGさんは書きました。
＞
＞＞３３ページの問２が疑問でした。
＞
＞この問題はまさに集積点と収束点の違いを明確に
＞表してる問題なのかもしれないですね。

の "集積点と収束点の違い" が何のことだか良く分
からないのでまた問２を見直しています。

答えが 集積点はゼロと１/ｎになるのは分かったん
だけど集積点と収束点の違いはやっぱり分からないです。

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11月11日に、レプトンさんは書きました。

＞だけど集積点と収束点の違いはやっぱり分からないです。

収束点とは、数列で収束した先なので1つしか存在しませんが
p27の例1のように集積点とは1つとは限らず複数あるものです。
わかるかなー？

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11月13日に、ゆうじさんは書きました。
＞収束点とは、数列で収束した先なので1つしか存在しませんが
＞p27の例1のように集積点とは1つとは限らず複数あるものです。
＞わかるかなー？

あーそうなのか！何個収束するかで分けてあるのか。納得。

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11月13日に、レプトンさんは書きました。

＞
＞あーそうなのか！何個収束するかで分けてあるのか。納得。
厳密に言えば、部分列が収束してるのが集積点です。p27
の例1を見ながら例2を読めばわかると思います。

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＞＞あーそうなのか！何個収束するかで分けてあるのか。納得。
＞厳密に言えば、部分列が収束してるのが集積点です。p27
＞の例1を見ながら例2を読めばわかると思います。

　33ページの問2に端を発するこのへんのやりとりから、ひとつ気づいたことがあるので
報告します：

　「点列」という言葉は、「数列」を「数でないものの集合の要素」の「列」に一般化し
ただけのことで、平面上の点列とか、ベクトルの列とか、関数列とかを含む概念ですね。
　ただ、なぜ「列」なのか？ 「列」がなぜ問題かというと、「すでに番号がついて並ん
でいる」からです。集積点とかコンパクトとかを定義したりするとき、「番号がついて並
んでいる」ことは本質ではないはずなので、そのことが定義に入って（多分）しまってい
る「点列」を使うのは、不適切な面があるのではないか。
　単に「可算集合」でいいじゃないですか。可算個の要素しかない点集合は、自然数と一
対一に対応する、すなわち番号をつけて一列に並べることができることは確かですが、そ
の番号の付け方は一通りじゃないし、実数の場合ですら自然な番号付けがなさそうなもの
もある。（その例が33ページの問2）

　で、たとえば集積点とは、（「点列」でなく）任意の「部分集合」に対して決まる概念
です。要するにその部分集合Ｅの要素（点）でいくらでも近似できる点ｘのことである
と。点ｘのいくらでも近くに（ｘ以外の）Ｅの点が存在していると言ってもよい。
　そうすると、区間みたいにベッタリつながっているような部分集合では、みーんな（内
点も端も）集積点。あまり面白くない。
　そこで、可算集合に対して集積点がどうなるか考えたりする。これが例1とか例2とかで
すが、可算集合だからって別に要素に番号をつけておく必要はない(!)ことに注意してく
ださい。

　いっぽう、「収束」というのは番号づけられた「列」に特有の、かつ強い概念で、「あ
る番号から先のすべて」が「極限点」の近くにないといけません。近くない点が有限個な
らいいが、無限個は許さないと。

　というわけで、可算無限集合であっても集積点が複数ある場合、無理に全体に番号をつ
けて「数列（点列）」にしても、どこにも「収束」しません（振動）。収束する数列を作
りたければ、無限個ある例外を除いて、どれかの集積点の近くの点ばかりを取り出せばよ
い。無限個から無限個を取り出すときに無限個を除くところがミソです（有限のところは
「どうでもいい」）。これがいわゆる「収束する部分列」ってやつですが、なぜか教科書
とかではいつも、番号がついてしまっている「点列」から「一部分の番号だけ取り出す」
場合しか考えられてない気がする。そりゃ取り出した部分集合を「収束列」にするには最
終的に番号をつける必要があるにしても、別に最初から全体に番号がついている必要はな
いと思う。

　まとめるとこう： 可算無限集合Ｅがいくつかの集積点をもつとする。そこで、ある集
積点ａの近くにだけ無限個の点を含むような部分集合Ｘを取り出す。Ｘは、（明らかに）
ただひとつの集積点ａをもつ。それだけのこと。
　ただ、「収束」と関連付けるためにどうしても番号をつけるとすると、（Ｅはどのよう
に番号をつけようともどこにも収束しないが）Ｘは（どのように番号をつけようとも）ａ
に「収束」する「点列」となる。それだけのこと。

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時間の関係上4,5,6講は平行してすすめて
行きたいとおもいます。また、レスをする場合
極力、新規記事投稿ではなく、[5講]なら、5講の
[返信]に書き込みをお願いします。スレッドのみやすさ
を保つためです。ご協力ください。
どーしても、新規記事にしたい時は別ですが。。

でわ、5講に入ります。

最初の「すう直線上の有界な閉集合」というのは僕は苦手でして
ねむーくなるようなものでした。(笑
それの平面バージョンものが次のp36の下からあります。
（ボルツァーノ・ワイエスストラシュの定理）という名前がついとります。
キーワードは　集積点、区間縮小法、といったことろかな。
内容は、密集してる点列があり、その究極な点-集積点-があるんだぞ。
みたいなもののようです。

よくわからないまま、次の[コンパクト性]へ移ります。
まず定義（？）です。

平面の集合Mが次の性質(C)をもつとき、Mはコンパクト性
を持つ、あるいは簡単に、Mはコンパクトであるという。

(C)「Mの中から任意に無限点列を取ったとき、この無限点列は
Mの中にかならず集積点をもつ。」

この場合、無限点列と仮定して、条件を加えているので
有限集合の時は別に、集積点を持たなくても、持っても
コンパクトであるぜ。ってことが説明に書いてあります。

次に大切なことで（？）、有界な閉集合のときも、
Mはコンパクトだよ。って書いてあります。
それは、さっきの「ボルツァーノ・ワイエスシュトラスの定理」
を使うとよいそうです。（僕はここがイマイチ。。。

とりあえず「有界な閉集合はコンパクト」だよ。っという主張があって
次に、逆も成り立ちまっせ。と。
「コンパクトなら有界でかつclose set でっせ」と。
その証明は否定命題を作って証明してます。

ここにきて、なかなかひとすじ縄ではいかないような
内容に突入してきた気分です。
実数の連続性を今一度復習しなければいけないような気分です。

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５講読みました。

有界な閉集合はコンパクトである。
とあります。

つまり、有界な閉集合Ｍの中の任意の無限点列
は、Ｍの中に必ず集積点を持つ。ということで、

このことは、有界な閉集合Ｍの中の任意の無限点列と、
Ｍの一点Ｏを定めたとき、この点列はＭの中に必ず
集積点を持ち、しかも、この集積点とＯとの距離は有限である。
この言い換えはＯＫでしょうか？

間違いがあったら宜しくお願いします。

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11月13日に、AEGさんは書きました。

＞つまり、有界な閉集合Ｍの中の任意の無限点列
＞は、Ｍの中に必ず集積点を持つ。ということで、
＞
＞このことは、有界な閉集合Ｍの中の任意の無限点列と、
＞Ｍの一点Ｏを定めたとき、この点列はＭの中に必ず
＞集積点を持ち、しかも、この集積点とＯとの距離は有限である。
＞この言い換えはＯＫでしょうか？

　「Ｍの一点Ｏを定めたとき」と「この集積点とＯとの距離は有限である」はまったく不
要な言明では？
　「集積点」という点が存在する以上、その点と任意の点との距離はもちろん有限ですか
ら。

　ただ、この誤解は「非有界な集合はコンパクトではない」という説明のところで、点Ｏ
を中心とするだんだん大きくなる円の外に点をとっていく例が使われていたためだとわか
りました。
　さらに、この例をよく見ると、点列がどこにも集積しないことの説明が不十分であるこ
とに気づきました。ただ単に次々と遠くに点を取っていくだけでは、点と点の間の距離に
下限がないとはいいきれません。非有界集合がコンパクトでないことを示すための反例
（どこにも集積しない無限「列」が作れる）をあげるときはやはり、各点から順につねに
一定の距離をあけて点を取っていくべきでしょう。
^^^^^^

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11月10日に、ゆうじさんは書きました。

＞時間の関係上4,5,6講は平行してすすめて
＞行きたいとおもいます。

とありますが、すると今週はもうこれ以上
読み進めるのは止めたほうが良いのではないでしょうか？

続いて７、８講と進んでしまうと、手が回りきらなくなって
しまうおそれがあるように思います。

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11月10日に、ゆうじさんは書きました。

＞最初の「すう直線上の有界な閉集合」というのは僕は苦手でして
＞ねむーくなるようなものでした。(笑
＞それの平面バージョンものが次のp36の下からあります。
＞（ボルツァーノ・ワイエスストラシュの定理）という名前がついとります。
＞キーワードは　集積点、区間縮小法、といったことろかな。
＞内容は、密集してる点列があり、その究極な点-集積点-があるんだぞ。
＞みたいなもののようです。
＞
＞よくわからないまま、次の[コンパクト性]へ移ります。

　この講の説明は丁寧すぎるくらい丁寧と私には思われるので、なぜ「わからない」のか
がわからない。コンパクト性の概念の説明法やその問題点を考えるいいチャンスと思うの
で、何がわからなさの原因なのか追求したいところです。

　「コンパクト集合」とは、要するに「（可算）無限部分集合が必ずどこかに集積してし
まう」集合のことです。さらに、その集積点も、その集合に含まれなければならないこと
にします。（前者だけの性質は「プレコンパクト」と呼ばれることがあります）

　５講の内容は、直線や平面（有限次元ユークリッド空間）では、この条件が「有界閉集
合」と同値になることを証明・説明していると。
　有界性から、「無限部分集合がかならずどこかに集積」がいえて、閉集合性から、「そ
の集積点も含まれている」のでＯＫと。
＃ ここで、集積点を含ませるのに、全空間が完備だから閉集合ですむので、そうでなか
ったら「完備」そのものを要請しなければなりません（完備なら自動的に閉集合）。コン
パクト性の「全有界かつ完備」という特徴づけもそう考えるとわかるはずですが、この特
徴づけはコンパクト性の理解としてはあくまでも派生的なものです。

　有界閉集合がコンパクトであることの証明が理解できないのか、コンパクト性の概念が
わからないのか、どっちでしょう？

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今週はＡＥＧがボスのようです。

早速ではありますが、６講を読みました。

４３ページについて、
書き方は色々あるのですが、「上への写像」は「全射」、
「一対一の写像」は「単射」とも言います。

φを集合ＸからＹへの写像とするとき、
φ（Ｘ）＝Ｙ　ならば、φをＸからＹへの全射というのは
３０講での定義通りですが、僕の中では、
∀ｙ∈Ｙ　に対して、∃ｘ∈Ｘ　ｓ．ｔ．φ（ｘ）＝ｙ
と言う定義の方が馴染み深いです。

また、ちょっとした言い換えなんですが単射について、
φ（ｘ）＝φ（ｙ）ならば、ｘ＝ｙ　のとき、φは
単射である、としても良いです。
これは、３０講における定義の対偶をとっています。

更に、φが集合ＸからＹへの上への一対一の写像を
全単射写像、単に全単射とも言います。

φが集合ＸからＹへの全単射であるとき、
逆写像（φ−１）：Ｙ→Ｘがきまる。とありますが、
　　　　　↑
　　　インヴァースです。

何故、φが全単射の場合に限って逆写像が存在するのか？
例えば、φが全射で、単射でない時を考えれば分かります。

今回はこの辺で。またレスするかも分かりません。
今週一杯宜しくお願いします。




　　　

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４５ページの（�A）の等号が成り立つ為には、
φが単射であれば良いことを示したいと思います。


従って、φを単射ならば、φ（Ａ）∩φ（Ｂ）⊆φ（Ａ∩Ｂ）
が成り立つ事を示します。

まず、φ（Ａ）∩φ（Ｂ）≠（空集合）のとき、
ｘ∈φ（Ａ）∩φ（Ｂ）をとる。
従って、ｘ∈φ（Ａ）かつｘ∈φ（Ｂ）であり、
このとき、∃ｙ∈Ａ、∃ｚ∈Ｂ、　ｓ．ｔ．
ｘ＝φ（ｙ）＝φ（ｚ）　となる。

φは単射だから、ｙ＝ｚで、ｙ＝ｚ∈Ｂ、ｚ＝ｙ∈Ａであり、
従って、ｙ＝ｚ∈Ａ∩Ｂ　であることが分かる。

∴ｘ＝φ（ｙ）＝φ（ｚ）∈φ（Ａ∩Ｂ）　である。

φ（Ａ）∩φ（Ｂ）＝（空集合）のとき、
明らかにＡ∩Ｂ＝（空集合）であって、
従って、φ（Ａ）∩φ（Ｂ）＝（空集合）＝φ（Ａ∩Ｂ）である。

こんな感じでしょうか。

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７講読みました。

ＴｅａＴｉｍｅを除いた本文では、
特に疑問に感じるところはありませんでした。
内容をまとめようとすると、
定義とか、定理の羅列になってしまうような
気がするので、それは控えさせていただきます。

気が付いたことがあったら、またレスします。

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僕が少しフォローすると。
ここでは、連続の定義を
Xで「収束する数列」を、Yで「収束する数列」に
写像するようなものを連続写像と定義してるね。

もっとやわらかく言うと、「収束するものは変換後も
ちゃんと収束しまっせ。」ってゆーのが連続の定義。

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11月17日に、ゆうじさんは書きました。

＞僕が少しフォローすると。
＞ここでは、連続の定義を
＞Xで「収束する数列」を、Yで「収束する数列」に
＞写像するようなものを連続写像と定義してるね。
＞
＞もっとやわらかく言うと、「収束するものは変換後も
＞ちゃんと収束しまっせ。」ってゆーのが連続の定義。

　そう、これこそが数学で言う「連続性」の本質です。
「近いものを近いものに写す」（定量的にとは限りませんが）。
　近さの構造が「位相構造」ですから、連続写像とは要するに「位相構造を保存する写
像」、つまり位相（準）同型写像のことなんですよね。位相構造＝収束概念 なので、
「収束が収束に写る」と言ってもいいことになる。
　だからこの定義にいう性質こそが本質なんです。けっして「グラフがつながっているこ
と」じゃない。
　ここでも、「言葉に惑わされない」ことが必要です。じっさい「連続性」「連続写像」
という言葉は不適切かも。「同相性」「同相写像」とかのほうが本当はいい？ （それ
に、「実数の連続性」というときの「連続性」もまたぜんぜん違う話だし）

　７講では、「グラフがつながっていること」から「連続性」へと話を持っていっていま
すが、そういう意味でこれはすこしおかしい。「グラフがつながっている」というのは、
位相空間の用語概念でいうと連続性ではなくて連結性のほう。実際、「グラフがつながっ
ている不連続関数」が存在します。（f(x)=sin(1/x), f(0)=0 とか）

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追加フォロー。
最後の方にある
連続写像によって、コンパクトはコンパクトに必ず移る。
というのも大事だと思うので一応記しときます。

じゃ、開集合は開集合へ移るのか？という問題が8講にあります。
答えは一般にはノーです。例がp61に載ってます。

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11月23日に、ゆうじさんは書きました。

＞最後の方にある
＞連続写像によって、コンパクトはコンパクトに必ず移る。
＞というのも大事だと思うので一応記しときます。

　そうそ、これって超重要。
　そしてTea Timeにあるように、微積分の基礎である「最大値定理」は、この「コンパクトの
連続像はコンパクト」という事実の特別な場合として理解できることになります（歴史的順序は
逆だけど）。 証明の理屈はほとんどそのまんま。最大値定理を無限次元に拡張する必要から
「コンパクト」という概念を思いついたことが鍵だったわけですね。
＃ 同様に、「連結の連続像は連結」の応用が、微積分の「中間値の定理」


＞じゃ、開集合は開集合へ移るのか？という問題が8講にあります。
＞答えは一般にはノーです。例がp61に載ってます。

　「連続写像」は位相「準」同型であって、１対１じゃないからですね。位相同型（第16講で出
てきます）なら大丈夫だけど、それにしても準同型で保存されない概念って、本当に位相的なの
か？という気もしますね…。
　p.62の例に至っては、位相同型写像で写してるのに（[0,∞)と[0,1)は「同相」です！）、一
方は閉集合、他方は閉集合でない。閉集合って位相的概念じゃないのか!? （いやもちろん「相
対位相」で考えればいいわけだけどさ。それを言うならp.61の例すら問題でなくなる。大体、
どんな部分集合も自身の相対位相では開かつ閉になってしまうから、相対位相という概念自体、
なんかうさんくさい…？）
　コンパクト性はちゃんと連続写像＝位相準同型で保存されるわけですから、やはりコンパクト
集合こそが閉集合や開集合より位相概念としては基本的なのではないかという気がします。（そ
れなのに定義としては閉集合／開集合のほうが基本的に見えるあたりが、「定式化がどこか狂っ
ているのではないか」と森毅が言う理由でしょう。）

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明日から再開します。
リーダーはレプトンさんきつそうなので
とりあえず、５，６、７をちゃんとついてもらうことにして
僕が8講以降のリーダーをしようと思います。

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結局一日ずれました。
昨日は何かとヘコんでいたので。。

8講のタイトルは［連続性と開集合］ということなので
連続性（収束するものを収束するものへ移す）と開集合の関係を
示そうとすることは予想がつきます。

まず最初に「連続性と近傍」とのことが書かれている。
近傍といえば開集合の定義みたいなもんだからフムフムと。。

で、近傍で連続性を表現しちゃおうってゆーのがp58です。

で、p60にめちゃめちゃ重要（であろう）
開集合を使った連続性の表現の定理が載ってます。
連続写像の十分条件は、任意の開集合に対して、逆像もまた開集合になると。

で、次ページに次に閉集合と連続性の関係が載ってます。
ま、似たようなものですね。閉の逆像は閉に写ると。

しかし、最後の注意は重要で、一般に開集合の連続写像は開には
ならない。またこれは閉に対しても言える。

なんかこの辺は証明などが結構あって込み入って大変でした。（私は。

けど、カンニングして先の講を見ると。。。
次はなんとあの連結。（どーやら島とか離れ島を思い描くといい概念みたい）
なんか、ここでまた開集合や閉集合の定義をしなおしています。
似たような感じですが、わからない部分も結構あったりします。

で、10講以降は距離空間。
いっきになじみなれたセクションなので、この辺はレプトンさんも
ついていけると思います。

みなさん、わからないところがあったら箇条書きにでもして書き込んでください。
あとで、まとめて再考する時間をつくって吟味していきたいので。

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11月24日に、ぞのさんは書きました。

＞けど、カンニングして先の講を見ると。。。
＞次はなんとあの連結。（どーやら島とか離れ島を思い描くといい概念みたい）
＞なんか、ここでまた開集合や閉集合の定義をしなおしています。
＞似たような感じですが、わからない部分も結構あったりします。

　「相対位相」という用語をなぜか使わず、「部分集合における位相」と呼んでいますが、これ
は相対位相の話です。この相対位相ってやつ、わかりにくいので注意注意！
（しかも定義としては完璧だけど、どこかうさんくさいのよね…）

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とりあえず、時間が出来たので呼んでみました。
あぁ、かなり時間が空いてしまいました。（反省

今までは、集合Xの全体などで考えてたけど
今度は集合の中の部分集合の中だけで考えて見よう
というお話です。それが全く、今までと同じお話だったら
意味がないので、おそらく、「部分集合における位相」
というのに何か特別なものがあるのだろう。と予測してますが。。。

まず、p64では、例として電車のダイヤグラムなどは
実際のところ「乗る位置から降りる位置」など部分的に
活用することが多いと。（全体を必要とする人は恐らく車掌さん
ぐらいだろう。。。）

p65では大変奇妙な部分集合を考えていますね。
まぁ、こういう形をしてても一つの集合だよ。
ってゆう例なのかもしれません。

p66では、今までと同じような定義のしかたで
部分集合の位相にも開集合と閉集合の定義をしています。

ここで一つ疑問があるのですが、図45でO~　がMの開集合で
F~　が閉集合というところ。
O~　は上下の辺は・・・線で開になってるのですが、横はMの境界線
を含んでいて閉になっているのがどうもよくわかりません。