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解析俗論のところでやたらとリプシッツ条件ってゆうのが
でてきて、なにやら微分方程式では重要な条件なのは
わかるけどどんな意味があるのか今一わからなかった。
えーっと定義をみると。|f(x,y_1)-f(x,y_2)|≦L|y_1-y_2|
を満たす、f(x,y)のことのようです。
自分でも復習してみますが、なにかごヒントを与えられる方
いらっしゃいましたらなにとぞご教授を。

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10月2日に、ぞのさんは書きました。

＞解析俗論のところでやたらとリプシッツ条件ってゆうのが
＞えーっと定義をみると。|f(x,y_1)-f(x,y_2)|≦L|y_1-y_2|
＞を満たす、f(x,y)のことのようです。

今日のY先生の講義によると、つまり
連続性に関わることだと。

Y先生から借りた笠原さんの本には扇形の中に収まるような関数と
書いてた。

今日講義でやった微分積分の基礎のようだけど、
自分には馴染みの薄いものだった。
オーダー。オーダー。オーダー。

森さんの本読んで復習しよう。

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今日の萌先生の講義は関数の級数展開の練習だった。
けど、話が面白かった、今まで複素関数論をまともに
やったことがなかったので、30講シリーズの「複素数」
とか、初等複素数は簡単なのに、途中でいきなり
理解ができなくなっていた。
級数展開される関数によってオーダーの取り方が制限される
のとか知って、ほーほー。っとつい感心してしまった。
今年の12月にでも関数論を真面目にやってみたい。
ちなみに11月は位相。

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はじめまして。このサイトの管理人ゆうじさんに教えてもらい、覗かせて貰ってます。

例えば関数f(x,y)の集合A⊂Ω上における変数yについてのLipschitz conditionの定義は
∃C≡const,∀y1,y2∈A；|f(x,y1)-f(x,y2)|≦C|y1-y2|
です。これを変形すると
|f(x,y1)-f(x,y2)|/|y1-y2|≦C
となるので要するに「fはAでyについての平均変化率が有界」ということになります。
このようにすると見た目だけでLipschitz conditionを満たすかどうかが分かります。
しかし、この条件は強すぎるので次に挙げるLocal Lipschitz conditionというもの
を用意し、これを用いて1階常微分方程式の解の一意性を示したりします。
で、Ω上のLocal Lipschitz conditionというのは、任意のp∈Ωに対してあるpの閉近傍V⊂Ω
が存在して
∃C_V,∀y1,y2∈A；|f(x,y1)-f(x,y2)|≦C_V|y1-y2|
であることです。但し、C_VはVに依存する定数です。
で、実はR^2の部分集合においてLocal Lipschitz conditionを満たすことはその任意の
有界部分集合上でLipschitz conditionを満たすことと同値であることが容易に示せたりします。
つまり、R^2においては議論を大雑把にやっても問題ないということです。
で、話を戻して解の一意性ですが、これが成り立つにはLocal Lipschitz conditionが十分
条件ですが、解の存在に関してはdy/dxの連続性だけで十分条件足りえます。
また、解の一意存在定理は「局所的な」事実に過ぎませんがこれから「大域的な」一意存在性
も容易に示されます。
とりあえずこんな感じです。またお邪魔するかもしれませんが今後とも宜しくお願いします。

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11月27日に、ヴェイユさんは書きました。
＞
＞例えば関数f(x,y)の集合A⊂Ω上における変数yについてのLipschitz conditionの定義は
＞∃C≡const,∀y1,y2∈A；|f(x,y1)-f(x,y2)|≦C|y1-y2|
＞です。これを変形すると
＞|f(x,y1)-f(x,y2)|/|y1-y2|≦C
＞となるので要するに「fはAでyについての平均変化率が有界」ということになります。
＞このようにすると見た目だけでLipschitz conditionを満たすかどうかが分かります。

つまり曲線の接線の傾きに制限を加えているのがリプシッツ条件
ってことなんですね。Cの値ってゆうのは、なんか具体的に定まってる
値なんですか？例えば、５とかだったら傾きの絶対値が５以下になるような
曲線だけを考えるようにしようとか。

＞しかし、この条件は強すぎるので次に挙げるLocal Lipschitz conditionというもの
＞を用意し、これを用いて1階常微分方程式の解の一意性を示したりします。
＞で、Ω上のLocal Lipschitz conditionというのは、任意のp∈Ωに対してあるpの閉近傍V⊂Ω
＞が存在して
＞∃C_V,∀y1,y2∈A；|f(x,y1)-f(x,y2)|≦C_V|y1-y2|
＞であることです。但し、C_VはVに依存する定数です。

これは上のリプシッツ条件の定数をvをパラメータの変数としてるんですね。
つまり傾きの制限をちょこちょこと変化出来るようにして条件を緩めてるって
ことかな。

＞で、実はR^2の部分集合においてLocal Lipschitz conditionを満たすことはその任意の
＞有界部分集合上でLipschitz conditionを満たすことと同値であることが容易に示せたりします。つまり、R^2においては議論を大雑把にやっても問題ないということです。

うーん、ここの意味はちょっとわかんないです。。


＞で、話を戻して解の一意性ですが、これが成り立つにはLocal Lipschitz conditionが十分
＞条件ですが、解の存在に関してはdy/dxの連続性だけで十分条件足りえます。
＞また、解の一意存在定理は「局所的な」事実に過ぎませんがこれから「大域的な」一意存在性
＞も容易に示されます。

そもそも「解の存在と一意性」というのは、微分方程式の「解が必ず存在し、それが唯一つ」
って言う意味ですよね。うーん、ちょっと自分でも勉強してみますね。
あんまりわかってないので。。。


＃こちらこそよろしくお願いします。
ｂｙ　ゆうじ

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11月28日に、ゆうじさんは書きました。

＞つまり曲線の接線の傾きに制限を加えているのがリプシッツ条件
＞ってことなんですね。Cの値ってゆうのは、なんか具体的に定まってる
＞値なんですか？例えば、５とかだったら傾きの絶対値が５以下になるような
＞曲線だけを考えるようにしようとか。

論理的な順序としてはまず関数を所与のものとしてそれがLipschitz conditionを満たすか
どうかを考えます。で、Cの値を具体的に与えようと思えば
C=sup_((x,y)∈Ω){|f(x,y1)-f(x,y2)|/|y1-y2|}
としてやれば良いです。
例えばf(x,y)=|y|
としてやれば、平均変化率|f(x,y1)-f(x,y2)|/|y1-y2|≦1となっています。
よってこれはR^2でLipschitz conditionを満たします。
簡単にいえばyについての傾きが∞に発散しないということです。
ですからもし制限という方向で考える場合でもまずCを与え、それを満たす関数を考えるのでは
なくて、fとCを与えてそれを満たす区間を考えることになると思います（微分方程式の場合は）。

＞＞しかし、この条件は強すぎるので次に挙げるLocal Lipschitz conditionというもの
＞＞を用意し、これを用いて1階常微分方程式の解の一意性を示したりします。
＞＞で、Ω上のLocal Lipschitz conditionというのは、任意のp∈Ωに対してあるpの閉近傍V⊂Ω
＞＞が存在して
＞＞∃C_V,∀y1,y2∈A；|f(x,y1)-f(x,y2)|≦C_V|y1-y2|
＞＞であることです。但し、C_VはVに依存する定数です。
＞
＞これは上のリプシッツ条件の定数をvをパラメータの変数としてるんですね。
＞つまり傾きの制限をちょこちょこと変化出来るようにして条件を緩めてるって
＞ことかな。

はい、でも実際にはそれ程緩められていないのは、
「実はR^2の部分集合においてLocalLipschitz conditionを満たすことはその任意の
有界部分集合上でLipschitz conditionを満たすことと同値である」
からも分かるのですが、ある関数がそれを満たすかどうかの判定としての形としてはこちらの
方(localの方)がはるかに扱いやすいと思います。

＞＞で、実はR^2の部分集合においてLocal Lipschitz conditionを満たすことはその任意の
＞＞有界部分集合上でLipschitz conditionを満たすことと同値であることが容易に示せたりします。つまり、R^2においては議論を大雑把にやっても問題ないということです。

証明を書くと、まずfがΩ(open)⊂R^2でLocal Lipschitz conditionを満たすとすると、
∀y∈Ωに対して∃V_y(closed neighbourhood of y)が存在して
∃C_y,∀y1,y2∈V_y；|f(x,y1)-f(x,y2)|≦C_y|y1-y2|・・・☆
かつy∈(V_y)'と「できます」。ここでC_{V_y}をC_yと略し、(V_y)'はV_yの内部としました。
すると∪((x,y)∈Ω)(V_y)'はΩの開被覆となります。
よってΩの任意の有界閉集合Aの被覆も与えます。
R^2では有界閉⇔コンパクトなのでAの有限開被覆が存在する、つまり
A⊂∪_(n=1,2,..m＜+∞)(V_yn)'となります。よってmaxC_yn=C_Aとすれば
y1,y2∈A；|f(x,y1)-f(x,y2)|≦C_A|y1-y2|
となります。これはAでLipschitz conditionを満たしていることを示しています。
更にΩの任意の有界部分集合にたいしてそれを含む有界閉部分集合が存在することを併せれば
命題は示されたことになります。

ですから、Local Lipschitz conditionを満たしている関数をR^2で考える場合、定義に忠実
に従がうならばまず、点をとって、その閉近傍の中で条件を満たすものが存在して・・云々と
して話を進めなくてはならないのですが、この命題からまず点を与えた後はその近傍の大きさ
に関しては特に考慮せずにそれこそテキトーな有開集合を選んでやればいいわけです。

＞＞で、話を戻して解の一意性ですが、これが成り立つにはLocal Lipschitz conditionが十分
＞＞条件ですが、解の存在に関してはdy/dxの連続性だけで十分条件足りえます。
＞＞また、解の一意存在定理は「局所的な」事実に過ぎませんがこれから「大域的な」一意存在性
＞＞も容易に示されます。

解の延長に関しては、まずはじめに示された解の一意存在性が成り立つような最大の区間を
考えてやり（閉区間になります）、その端点を初期条件とする同じ微分方程式を考えてやれば
最初の局所的な解の一意存在性よりそれが延長できるということが分かります。

拙い説明ですがこんな感じです。では。

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11月27日に、ヴェイユさんは書きました。

＞しかし、この条件は強すぎるので次に挙げるLocal Lipschitz conditionというもの
＞を用意し、これを用いて1階常微分方程式の解の一意性を示したりします。
＞で、Ω上のLocal Lipschitz conditionというのは、任意のp∈Ωに対してあるpの閉近傍V⊂Ω
＞が存在して
＞∃C_V,∀y1,y2∈A；|f(x,y1)-f(x,y2)|≦C_V|y1-y2|
＞であることです。但し、C_VはVに依存する定数です。
＞で、実はR^2の部分集合においてLocal Lipschitz conditionを満たすことはその任意の
＞有界部分集合上でLipschitz conditionを満たすことと同値であることが容易に示せたりします。

　「局所リプシッツ連続」という概念はたまに見かけるので、そのたびに気になっていたことを
この機会に書きます：

　結論を先に言うと、「局所リプシッツ連続」は「各点のある近傍でリプシッツ連続」などと定
義したりせず、最初から「任意のコンパクト部分集合上でリプシッツ連続」と定義したほうがい
いのではないか？ということです。以下その理由。

　（関数などの）性質には、本質的に局所的に定義されるものと、大域的に定義されるものがあ
ります。
　たとえば、連続性、微分可能性などは一点で定義されるので、局所的。
　有界性、一様連続性、一様微分可能性（そういうのがあるんです。「Ｃ1級」と同値になりま
すが、「Ｃ1級という性質が使いやすい理由は、これが一様微分可能を意味するからであろう」
と一松信先生の本に書いてありました）、単調増加などは、区間（領域）に対して直接定義され
るので、大域的。

　本来局所的な性質を、無理やり（？）大域的な区間（領域）に対して定義するには、「区間
（領域）の各点で」とやります。
　たとえば、「区間で連続」とは、「区間【の各点】で連続」といったぐあい。
　定義は無理やりっぽくても、実際これが大域的性質に結びつくので、意味があるわけです。た
とえば、「コンパクト区間【の各点】で連続」ならば「有界」だったり「一様連続」だったり。
　また、「区間で微分可能」は平均値の定理によって大域的性質に結びつく（これが平均値の定
理の存在意義！）。「区間【の各点】で微係数が正」ならば「単調増加」とか。

　逆に、本来大域的な性質を無理やり局所化するには、「一点のある近傍で」とやればよいでし
ょう。
　たとえば「一点で単調増加」を定義したければ、「その点【のある近傍】で単調増加」といっ
たぐあい。
　しかし、大域的性質のこのような局所化が意味のあるケースって、本当にあるんでしょうか。
これがずっと気になっているんです。

　特に気になったのが、複素関数論の「正則性」。これは、「複素微分可能」という局所的性質
を（やはり「各点」方式で）大域化した概念です。正則性は本来大域的性質なのに（それは「解
析性」と同値であることや、つねに領域（連結開集合）で考えられることからわかる）、直接大
域的な定義ができないのが不思議ですが、それはまあいいとして、これをまた局所化している本
がときどきあるんですよ。すなわち、「一点で正則」を「その点【のある近傍】で正則」と定義
するわけです。そんな定義をしても話がややこしくなるだけで、デメリット以外なにもないと思
うんですが…。

　話を戻して^^;。「リプシッツ連続」も大域的概念ですが、これを近傍方式で無理やり局所化
したのが「一点で（局所）リプシッツ連続」（＝「その点【のある近傍】でリプシッツ連続」）
です。「【各点で】局所リプシッツ連続」とはそれをまた大域化？ なんだか無意味。

　そうではなくて、

＞しかし、この条件は強すぎるので次に挙げるLocal Lipschitz condition

というのは、多分こういうことでしょう：「領域が非有界な場合にまで全体でリプシッツ定数が
とれる」というのは強すぎて期待しにくいが、任意の有界領域でリプシッツ連続ならば、そこで
解の一意性が成り立つから、領域の任意性よりけっきょく全体で一意性がいえるので十分、と。
　それなら、「一様収束」と「広義一様収束」（コンパクト一様収束）の関係と同じことです。
だったら、局所リプシッツ連続とは“広義リプシッツ連続”（任意のコンパクト部分集合上でリ
プシッツ連続）のことである、とするのが素直ではないかと。

　それとも、上の「広義リプシッツ連続」と「各点で局所リプシッツ連続」のＧＡＰが本質的に
効いてくるような反例とかあるんでしょうか。（R^nでは有界閉集合のコンパクト性により同値
になってしまうから、反例があるとしたら無限次元の場合でしょうが…）
　あるいは、同値な条件でも実際的な使いやすさに差があることはままありますから、やはり後
者の方が使いやすい例とかがあったりするんでしょうか。

　その意味で、

＞からも分かるのですが、ある関数がそれを満たすかどうかの判定としての形としてはこちらの
＞方(localの方)がはるかに扱いやすいと思います。

の部分の具体例に興味が湧いています。

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全ての提案に対する回答では在りませんが、とりあえず、出来る範囲でお応えします。
一般に「広義」という言葉は日本特有の言い回しで英文ではこのような書き方はしないのが
普通らしいです。
ですから、普通は「広義○○」という言葉を使わずに「任意のコンパクト集合上で○○」という
ようにするらしいので、ご指摘の通り広義というのは「態々とりたてる必要もない」概念だと
もいえます。
さて、これとの対比において「1点で○○」という言葉がありますが、これは本質的に「広義○
○」というのとは違う概念と考えています。ですから、この場合は態々1点で○○という概念
を設定してやる必要があるように思います。
例えば次の様な関数は唯1点のみで連続です。
　　　　　　　　　　f(x)　=　{ 1　　　　x∈R-Q
　　　　　　　　　　　　　 　 { x　　　　ｘ∈Q
明らかにこれは唯1点x=1のみで連続であり、その近傍では不連続となっています。
ついでにもう1つの例を挙げますと
　　　　　　　　　f(x)={x^2　　 x　∈R-Q
　　　　　　　　　　　　{x^2/2　 x∈Q
は唯１点でのみ微分可能な関数であるといえます。
このようなものは局所的な定理例えばinverse function theorem などを適用する際に有用
で在ると思います。
このような回答でよいのか分かりませんが、とりあえずこんな感じです。では。

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レスありがとうございます。

＞一般に「広義」という言葉は日本特有の言い回しで英文ではこのような書き方はしないのが
＞普通らしいです。
＞ですから、普通は「広義○○」という言葉を使わずに「任意のコンパクト集合上で○○」という
＞ようにするらしいので、ご指摘の通り広義というのは「態々とりたてる必要もない」概念だと
＞もいえます。

　よく使うパターンなのに、言葉を定義しないのは不思議ですね。
　まあ新しい概念というほどではない、といえば確かにそうかも。


＞さて、これとの対比において「1点で○○」という言葉がありますが、これは本質的に「広義○
＞○」というのとは違う概念と考えています。ですから、この場合は態々1点で○○という概念
＞を設定してやる必要があるように思います。

　「連続性」や「微分可能性」のように、本来局所的に定義される「一点で○○」概念が、「広
義○○」と違うのは当然で、それはいいんですよ。問題視しているのは、「リプシッツ連続」の
ように本来大域的な概念を、無理やり「一点で○○」と局所化することの是非です。それこそ、
「態々とりたてる必要もない」のでは、と感じるわけです…。

＃　前回の書き込みで「広義○○」と“対比”したのは「（本来局所的な）一点で○○」ではな
＃ く、「大域の【各点で】（無理やり局所化した本来大域的な）一点で○○」です。

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ちょっと補足。
　私の最初の書き込みは、要するにこういうことです：

(1) 直接局所的に定義される「一点で○○」
(2) (1)を（各点方式で）大域化した「区間（領域）で○○」
(3) 直接大域的に定義される「区間（領域）で○○」
(4) (3)を（近傍方式で）局所化した「一点で○○」

の４種があるが、(4)には積極的意味のあるケースが見出せない（「局所リプシッツ連続」
も例外ではないように思う）ということです。
＃ さらに(4)の形式的再大域化（？）は、結局「広義○○」（という語を用意するか「任
＃ 意のコンパクト上で」といちいち言うかはともかくとして^^;）で代用可能なのでは
＃ それならそちらのほうが素直で判りやすい）、と。


※ヴェイユさんが書いてくれた例：

＞例えば次の様な関数は唯1点のみで連続です。
＞　　　　　　　　　　f(x)　=　{ 1　　　　x∈R-Q
＞　　　　　　　　　　　　　 　 { x　　　　ｘ∈Q
＞明らかにこれは唯1点x=1のみで連続であり、その近傍では不連続となっています。
＞ついでにもう1つの例を挙げますと
＞　　　　　　　　　f(x)={x^2　　 x　∈R-Q
＞　　　　　　　　　　　　{x^2/2　 x∈Q
＞は唯１点でのみ微分可能な関数であるといえます。
＞このようなものは局所的な定理例えばinverse function theorem などを適用する際に有用

＞で在ると思います。

は、「（たとえ(2)が不可能でも）(1)に意味のあるケース」の例ですね。

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10月2日に、ぞのさんは書きました。

＞解析俗論のところでやたらとリプシッツ条件ってゆうのが
＞でてきて、なにやら微分方程式では重要な条件なのは
＞わかるけどどんな意味があるのか今一わからなかった。
＞えーっと定義をみると。|f(x,y_1)-f(x,y_2)|≦L|y_1-y_2|
＞を満たす、f(x,y)のことのようです。

化石レスだけど最近思ったことを綴ります。

この当時はリプシッツ条件にこだわってたけど
僕は「ピカールの逐次近似法」もわかってなかったようだ。

最近になって、微分方程式には「定数分離型」の手法とは
別に、ピカールの逐次近似法（積分方程式）の解法があること
を自覚した。

たしかに大学3年の時習ったとき用語は覚えたんだけど
何をやってるかさっぱりわからんかった。（先生がこれは大切だ！っと
言ってたのも覚えてる）
で、コーシー・ペアノの定理にリプシッツ条件を付加させることに
よって上手く解の一意性と存在が示されるみたいだ。

最近、笠原さんの新微分方程式対話を読み返して、やっと
ここまでたどりついた。自分って要領悪いなぁ。。。っと
つくづく思う。。

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関連講義ノート
参照