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今日はＸとＰの交換関係について考えます。
まず、状態の平行移動について考えます。
いま、平行移動
｜ｘ＞　→　｜ｘ＋ε＞
とεだけずらすような演算子を考えます。
これを平行移動演算子T〔ε〕としましょう。
つまりＫは　T〔ε〕｜ｘ＞＝｜ｘ＋ε＞を満たすよう定義される。
すなわち、
ＸT（ε）｜ｘ＞＝（ｘ＋ε）T(ε)｜ｘ＞
かつ
＜ｘ｜T゜T｜ｙ＞＝δ（ｘ−ｙ）　（ここでT゜の　゜はダガ−だと思ってください）
よって、T゜Tは１(単位行列)でないといけない。
つまり、ユニタリーなわけです。
よってKをあるエルミート演算子とすると、
T（ε）＝exp（-iKε）と書き表す事が出来ます。

●問　
Tを上のように書くとKがエルミートであることを示せ。

Kの性質は無限小変換を考える事により，分かります。
前回の問題としていたので簡単に済ませます。
εが十分小さい時、展開の１次までとして，
T(ε)＝１−ｉＫε
Ｔ(ε)｜ｘ＞＝｜ｘ＞−iεK｜ｘ＞＝｜ｘ＋ε＞
ここから結局
ＸT｜ｘ＞＝ｘ｜ｘ＞−iεＸK｜ｘ＞＝(x+ε)｜ｘ＋ε＞
ＴＸ｜ｘ＞＝ｘ｜ｘ＞−ｉεＫＸ｜ｘ＞＝ｘ｜ｘ＋ε＞
これを比べて
（ＸＫ―ＫＸ）｜ｘ＞＝ｉ｜ｘ＋ε＞→ｉ｜ｘ＞　(ε→０)
よって
[X , K]＝ｉ
となります。

素粒子論とかではよく自然単位系ｈ＝１を取ります。
そもそもｈがある定数であるのは、
もちろんある単位系を用いているからで，
はじめに量子力学ありきなら、とうぜんｈを
１と取ったことでしょう、というのはよく聞きますね。
そう考えると，平行移動生成演算子Ｋを
運動量Ｐ（にｈをかけたもの）とみなせ、
交換関係を導き出せると考えることができます。

後はこれが一般的かどうかという事が問題になります。
これについては、もうすこし突っ込んで考えてみたいので，
こんど、“交換関係についての考察”というタイトルで
やってみたいと思います。
　ここでは、スピンにでも同様に交換関係が導き出せる事から，
前に述べた対応原理より一般的として、このように天下り３を
書きなおしたいと思います。

天下り3　-----------------------------------------------
考えている物理の(正準)座標に対応する運動量は、位置の
固有状態に対する平行移動演算子の生成子として定義し、
このとき、
位置の演算子Xと運動量演算子Pは交換関係を持つ：
[X、P]＝ｉｈ
となる。（ｈはディラックｈと思ってね。)
----------------------------------------------------------------

まー、上のほうの議論だと，逆に交換関係にある場合、
片方が片方の平行移動の生成子となる
とも言えるので交換関係そのものが
定義としても良いと思いますが。

さて次回はこの天下り１，２，３から，シュレーディンガーＥｑを
導き出したいと思います。