群の例　［トップへ］

整数は加法において可換群をなします。

結合法則と交換法則が成り立つのはあきらかでしょう。（笑）
例えば０は整数において単位元となります。
単位元と逆元に関しては５で試してみましょう！
　　　　　０＋５＝５＋０＝５
さらに-５が逆元となります。

これだけを見るとあたりまえのようですが、群であるがゆえに、さまざまな性質が付加していきますよ。
みなさんも定義、定理集をみて色々加法群である整数に当てはめてみてください。
きっと新しい性質が見えてきます。



剰余群の例

整数は商のあまりの集合で剰余群をなします。

さあ、上の整数の群を使って剰余群を作ってみます｡
整数をそれぞれ５で割って見ましょう。
ここで注意ですが、上においては加法と減法しか定義されていません。
ここで商とは「５であまりがマイナスにならないまで引けるだけ引く」ということにします。
それではやってみましょう。
０において余りは０
１　　　　　　　　　１
２　　　　　　　　　２
以下続けていくと
５の商のあまりは
０のもの、１のもの、２，３，４に分けられますね｡
それぞれの集合自体を元と見た集合それが整数の加法における剰余群になります。
しかし群と言う以上、定義通りで無ければなりません。
そこで問題が出てきます｡
「余りの集合同士をどうやって計算してやるんだ？？？」
ご安心を。
それぞれの元（集合）を足す演算を定義してやります。
０，１，２，３，４をそれぞれ余りの集合として、演算は整数の加法で５以上の場合はまた商で余りを求めます。
例えば4+4＝8ですがこれは３とみます。
でも「そうしても本当にそれが成り立つのか？？」
と言われそうですが、成り立ちます｡
ぜひ試してみてください。
上の余りの集合4から９と２９を取って足してみますと38ですね。
これを５で割るとあまりは・・・・、3ですね。
このように何か定義してやり条件が一致するとき、「well-define」といいます。

後、群の定義についてはみなさんで考えてみてください。




環の具体的モデル。（シモゾノ作）

一番良い例は「行列」なのでそれで説明します。

まず、行列を習いたての頃を思い出してください。
行列の足し合わせの計算を初めにすると思います。
これは、環の定義でいう。（�T）を満たすことです。（定義集参照してください）

次に、足し算の次は掛け算の法則を習ったと思います。
「ヨコヨコタテタテ」といって覚えたもんです。
で、行列の場合は、一般に可換が成立しないで
結合法則のみが成り立ちます。これが定義集の(�U)のことです。

最後に、(�V)は、(�T)と（�U）で定義した。「足し算」と「掛け算」
という、互いに独立して定義した演算を組み合わせたものです。