自分の中で、｢これは大事かな｣というものを集めています。
（教科書がベースだから、どれも大事ですが・・・）
従って、モレ落ちが多数あるのは当然です。
｢この辺りはどうなの？」といった疑問があれば連絡を下さい。 ［トップへ］


★★★ 群の定義

空でない集合Ｇが、次の公理を満たすことを、Ｇは演算　・　により群を成す、という。

公理　(Ⅰ)Ｇにおける内部算法　・　が存在する。
　　　 (Ⅱ)Ｇの任意の元　x,y,z に対し、
　　　　　　　（ｘ・ｙ）・ｚ　＝　ｘ・（ｙ・ｚ）　　(結合法則)
　　　 (Ⅲ)Ｇにおいて、ある特別な元 e　が存在して、Ｇの任意の元　ｘ　に対して、
　　　　　　　　e・x＝ x・e ＝x　　(単位元）
　　　 (Ⅳ)Ｇの各元　ｘ　に対して、ある元　ｙ　が存在して、
　　　　　　　　ｙ・ｘ＝ｘ・ｙ＝e　　　が成り立つ。
　　　　　　　　ｙ　を　ｘ　の逆元と言う。

以下では、Ｇを群とする。


※因みに、上に書いてある公理の内で（Ⅰ）の条件つまり、結合法則
　のみを満たす集合を半群という。

定義　(Ⅰ)Ｇの任意の元　ｘ、ｙ　に対し、ｘ・ｙ＝ｙ・ｘ　が成り立つとき、
　　　　　　Ｇは、可換群(アーベル群)であると言う。

　　　　(Ⅱ)アーベル群Ｇにおいては、算法　Ｇ×Ｇ＝Ｇ　をあらわすのに、
　　　　　　加法の記号　（ｘ、ｙ）→　ｘ+ｙ　を用いることがある。
　　　　　　このとき、Ｇを加法群という。
　　　　　　ｘ+ｙ　をｘ　と　ｙ　の和という。単位元を　０　であらわす。
　　　　　　ｘ　の逆元を、－ｘ　であらわす。

　　　　(Ⅲ)群Ｇにおいて、Ｇが可換か否かに関わらず、算法を　ｘｙ　のようにあらわすとき、
　　　　　　Ｇを乗法群と言う。

注意　群Ｇの元の個数が有限個あるとき、Ｇを有限群という。
　　　　群Ｇの元の個数が無限個であるときは、Ｇを無限群という。
　　　　群Ｇの元の個数を　｜Ｇ｜　で表し、これを、Ｇの位数という。


★部分群 ［定理集］

　Ｇの部分集合Ｈについて、ＨがＧの算法によって群を成すとき、
　　　　ＨはＧの部分群である、といって　Ｈ＜Ｇ　、　Ｇ＞Ｈ　であらわす。

　　　　例えば、Ｇの部分群として、Ｇ自身を挙げることが出来る。
　　　　単位元のみの集合　{e}　もまたＧの部分群である。
　　　　Ｇ、{e} 以外のＧの部分群を、真の部分群という。

定義　(Ⅰ)　Ｓを空ではないＧの部分集合とする。このとき、
　　　　　　　Σ：＝｛Ｋ｜Ｋ⊆Ｇ　は部分群で、Ｓ⊆Ｋ　｝とおけば、
　　　　　　　Ｈ：＝（Ｓを含む最小の部分群）＝　∩Ｋ
　　　　　　　である。ＨをＳが生成する部分群といい、〈Ｓ〉であらわす。
　　　　　　　ＳはＨの生成系という。
　
　　　(Ⅱ)Ｓが有限集合　Ｓ＝｛　ａ１、ａ２、・・・、ａｎ　｝のとき、
　　　　　 〈Ｓ〉＝〈　ａ１、ａ２、・・・、ａｎ　〉　と書き、有限生成である、という。

　　　(Ⅲ)特に、Ｇが一個の元　ａ　で生成される、すなわち、
　　　　　　Ｇ＝〈ａ〉＝｛ａｎ｜　ｎ∈Ｚ　｝のとき、Ｇを巡回群という。( ^ は、累乗）
　　　　　　巡回群はアーベル群であることがわかる。
　　　　　　〈ａ〉の位数が有限のとき、その位数　｜〈ａ〉｜　を元　ａ　の
　　　　　　位数または、周期という。


　
※Ｍを空でない集合とする。ＭからＭ自身への全単射を
Ｍ上の置換又は変換という。

命題　ＳをＭ上の置換全体の集合とすると、Ｍは写像の
　　　 合成を積として群を成す。

★★置換群

このＳを特にＳ（Ｍ）と書き、Ｍ上の対称群と言う。Ｓ（Ｍ）の
部分群を変換群、置換群と言う。

Ｍがｎ個の元から成るとき、Ｍ＝｛１、２、...　、ｎ｝と書く。
そして、Ｓ（Ｍ）＝Ｓｎとかき、ｎ次の対称群という。

　　　さて、ここでは置換をどのように表すか決めておきたい。
　　　普通の参考書等では、２段抜きのカッコで括られているが、このテキストでは
　　　そうもいかないので別の表し方にします。

　　　３次の置換群で、１を２に、２を３に、３を１に変えるような置換を、

　　　｜１　２　３｜
　　　｜２　３　１｜　と言った具合にタテ線で区切る事にする。

定義　Ｓｎの元で、ｘ1をｘ２に、ｘ２をｘ３に、・・・、ｘ（ｒ-１）をｘｒに、
　　　ｘｒをｘ１に移し、他を変えないようなものを、（ｘ１　ｘ２　・・・　ｘｒ）
　　　とかいて、ｒ次の巡回置換という。

　　　例を挙げると、

　　　　｜１　２　３　４　･･･　ｎ｜＝（１　３　４）　　等である｡
　　　　｜３　２　４　１　･･･　ｎ｜
　　　
　　　これは、３次の巡回置換である。
　　　特に、２次の巡回置換を互換という。

定義　任意の置換が、偶(奇）数個の互換の積に分解できるとき、偶(奇）置換という。
　　　Ｓｎの偶置換全体の集合をＡｎとし、これを、ｎ次の交代群という。


★部分群による類別 ［定理集］

　Ｇを群、Ｈ＜Ｇとする。
　　　　（Ⅰ）ｘ、ｙ∈Ｇ　について、
　　　　　　　　（１）y-1ｘ∈Ｈ　⇔　（２）ｘＨ＝ｙＨ　⇔　（３）ｙ∈ｘＨ
　　　　　　　　が成り立つ。
　　　　（Ⅱ）上の条件が1つでも成り立つ、したがって、上の3つの条件が
　　　　　　　すべて成り立つとき、ｘとｙはＨを法として左合同であるといい、
　　　　　　　　　　　ｘ≡ｙ（ｍｏｄ　Ｈ）と表す。
　　　　　　　≡は同値関係である。ｘ∈Ｇの同値類をＣ（ｘ）とおけば、
　　　　　　　Ｃ（ｘ）＝ｘＨ　である。この類別をＨによる左類別、各類ｘＨを
　　　　　　　左剰余類という。　とくに、Ｃ（ｅ）＝Ｈ　である。

　　　　（Ⅲ）同様にして、
　　　　　　　　（１） ｘy-1∈Ｈ　⇔　（２）Ｈｘ＝Ｈｙ　⇔　（３）ｙ∈Ｈｘ
　　　　　　　　が成り立つ。

　　　　（Ⅳ）上の条件が成り立つとき、ｘとｙは、Ｈを法として右合同であるという。
　　　　　　　　　　　　ｘ≡ｙ（右ｍｏｄ　Ｈ）と表す。
　　　　　　≡は同値関係である。ｘ∈Ｇの同値類はＨｘである。この類別を、
　　　　　　Ｈによる右類別という。各類Ｈｘを右剰余類という。


※Ｈ　によるＧの左剰余類の個数を
　ＧにおけるＨの指数といって、（Ｇ：Ｈ） で表す。
　尚、ＨによるＧの左剰余類、右剰余類の
　個数は一致する。

例　Ｓｎ　において、Ａｎは偶置換全体の成す集合で、
　　 Ｓｎの部分群を成す事は前に書いた。

　　ここで、Ｓｎ∋τ　を任意の奇置換とすると、
　　τＡｎ　は奇置換全体の集合となる。

　　従って、ＡｎによるＳｎの左剰余類は　Ａｎと、τＡｎ　の２つである。

　　従って、（Ｓｎ：Ａｎ）＝２　である。　　右剰余類に関しても同様。


★★　正規部分群

Ｇを群　Ｈ＜Ｇ　とする。
　　　（Ⅰ）ａ∈Ｇを定めたとき、
　　　　　　ａＨ＝Ｈａ　⇔　ａＨａ-1＝Ｈ
　　　　　
　　　（Ⅱ）∀ｘ∈Ｇ、ｘＨｘ-1＝Ｈ　⇔　∀ｘ∈Ｇ、ｘＨｘ-1⊆Ｈ
　　　　　が成り立つ。（Ⅱ）が成り立つとき、ＨをＧの正規部分群という。


定義　Ｇを群、Ｎ⊆Ｇを正規部分群とする。このとき、Ｎによる
　　　　右剰余類と左剰余類には区別がないので、単に剰余類という。
　　　　Ｎによる剰余類の全体を　Ｇ／Ｎ　と書く。　Ｃ（ａ）＝Ｎａ＝ａＮ

　　　　集合　Ｇ／Ｎ　において、元Ｃ（ａ）＝ａＮ、Ｃ（ｂ）＝ｂＮに対し、
　　　　ａ，ｂのとり方によらず　Ｃ（ａ）Ｃ（ｂ）＝Ｃ（ａｂ）が成り立つ。
　　　　この内部算法を積として、商集合　Ｇ／Ｎ　は群となる。これを、Ｎによる
　　　　Ｇの商群、剰余群という。


★★　準同型写像 ［定理集］

Ｇ、Ｇ´を群とする。写像　ｆ：Ｇ　→　Ｇ´を考える。このとき
∀ｘ，ｙ∈Ｇに対して、ｆ（ｘｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）　が成り立つとき、
写像ｆを準同型写像という。

Ｇの単位元ｅ´の逆像をｆの核といい、Ｋｅｒｆ　で表す。Ｇのｆによる像を
ｆの像といい、Ｉｍｆ　で表す。
即ち、Ｋｅｒｆ＝｛ｘ∈Ｇ｜ｆ（ｘ）＝ｅ´｝⊆Ｇ
　　　　Ｉｍｆ＝｛ｆ（ｘ）｜ｘ∈Ｇ｝⊆Ｇ´　である。
特に、ｆがＧからＧ´への全単射準同型写像であるとき、ｆのことを、
ＧからＧ´への同型写像という。このとき、ＧとＧ´は同型であるという。


　

★★★環の定義

空でない集合Ｒにおいて、2つの内部演算、加法ａ＋ｂ∈Ｒ、
乗法ａｂ∈Ｒが定義されていて、次の3つの条件が成り立っているとき、
Ｒは環であるという。

Ⅰ．　Ｒは加法に関して可換群である。
　　 　　（１）（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）　（結合法則）
　　 　　（２）ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ　　（可換法則）
　　 　　（３）零元０が存在して、∀ａ∈Ｒに対して、
　　　　　 　　　０＋ａ＝ａ＋０＝ａ
　　 　　（４）∀ａ∈Ｒに対して、加法の逆元　－ａ　が存在して、
　　　　　　　　（－ａ）＋ａ＝ａ＋（－ａ）＝０

Ⅱ．　Ｒは乗法について結合法則が成立する．
　　　 即ち、（ａｂ）ｃ＝ａ（ｂｃ）

Ⅲ．　分配法則が成立する．
　　　 即ち、ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ
　　　　　 （ａ＋ｂ）ｃ＝ａｃ＋ｂｃ

※上に書いてある条件は、次の様に言い換える事が出来る。
　　Ⅰ．Ｒは加法に関して可換群である。
　　Ⅱ．Ｒは乗法に関して半群である。
　　Ⅲ．分配法則が成立する．
　　　　　即ち、ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ　、（ａ＋ｂ）ｃ＝ａｃ＋ｂｃ
　　Ⅳ．Ｒは乗法に関して単位元を持つ。


　 　　環Ｒが乗法の単位元1を持つとき、Ｒを単位的環という。
　　　　単位的環Ｒの元ａが乗法に関しての逆元を持つとき、ａを単元という。
　　　
　　　　環Ｒの元ａに対し、０でない元ｂ∈Ｒがあって、ａｂ＝０
　　　　となるとき、ａを左零因子という．０でない元ｃ∈Ｒがあって、
　　　　ｃａ＝０となるとき、ａを右零因子という．
　　　
　　　　Ｒの乗法が可換であるとき、Ｒを可換環という．そうでないとき、
　　　　Ｒを非可換環という。可換環においては、右零因子と左零因子は同じものである。

　　　　単位元を持つ可換環で、０以外に零因子を持たないものを、整域という。
　　　　単位元を持つ環で、０以外の元がすべて単元であるものを斜体という。
　　　　さらに、乗法について可換な斜体を体という。［体の拡大へ］


　　　　※多項式環とは？
　　　　Ｒを単位的可換環とする。Ｒの元を係数とする不定元の多項式全体の集合は、
　　　　通常の加法と乗法に関して乗法の単位元をもつ可換環になる。
　　　　この環を、Ｒ上の(1変数Ｘの）多項式環といい、Ｒ［Ｘ］と書く。

　　　　０でないｆ（Ｘ）∈Ｒ［Ｘ］は、ｆ（Ｘ）＝ΣＡｊＸｊ　（0≦ｊ≦ｎ）、（Ａ0、・・・、Ａｎ∈Ｒ、Ａｎ≠０）
　　　　と、一意的に表せる。　ｎをｆ（Ｘ）の次数といって、ｄｅｇｆ（Ｘ）＝ｎ　と書く。
　　　　0∈Ｒ［Ｘ］の次数は定義しない。

　　　　同様に、Ｒの元を係数とするＸ１、･･･、Ｘｎの多項式全体の集合は単位的可換環になる。
　　　　これを、Ｒ上のｎ変数の多項式環といい、Ｒ［Ｘ１、・・・、Ｘｎ］と書く。


定義　Ｓを環Ｒの空でない部分集合とする。Ｒの加法と乗法をＳに制限したものが、
　　　　Ｓにおける加法と乗法になっていて、Ｓがこの２つの算法に対し環になっているとき、
　　　　ＳはＲの部分環であるという。特に、Ｒの部分環Ｓが（上に述べた加法と乗法に関して）
　　　　体になっているとき、ＳをＲの部分体という。


★★★イデアル・剰余環

環Ｒの空でない部分集合Ｉが、次の２条件

　　（１）∀ａ，ｂ∈Ｉ　に対し、ａ＋ｂ∈Ｉ、－ａ∈Ｉ
　　（２）∀ｘ∈Ｒ、∀ａ∈Ｉ　に対し、ｘａ∈Ｉ
　　　　を満たすとき、Ｉ　はＲの左イデアルである、という。

　　（２´）∀ｘ∈Ｒ、∀ａ∈Ｉ　に対し　ａｘ∈Ｉ

　　　を満たすとき、Ｉ　はＲの右イデアルである、という。

　　Ｉ　が左イデアルかつ右イデアルであるとき、　Ｉ　を両側イデアル、
　　単にイデアルであるという。

定義　Ｒを環とする。
　　　 Ｒ∋ａ１、ａ２、･･･、ａｎ　に対して、

　　　｛ｘ１ａ１＋・・・＋ｘｎａｎ＋ｚ１ａ１＋･･･＋ｚｎａｎ｜ｘｉ∈Ｒ、ｚｉ∈Ｚ　}

　　　は、｛ａ１、ａ２、･･･、ａｎ｝によって生成されるＲの左イデアルである。
　　　これを、　Ｒａ１＋･･･Ｒａｎ＋Ｚａ１＋･･･Ｚａｎ　と書く。

　　　 また、Ｒが乗法の単位元を持つときには、Ｚの項は省略できる。
　　　従って、ａ１、ａ２、･･･、ａｎ　で生成されるＲの左イデアルは、
　　　｛ｘ１ａ１＋・・・＋ｘｎａｎ｜ｘｉ∈Ｒ｝＝Ｒａ１＋･･･Ｒａｎ　となる。
　　　（ａ１、ａ２、･･･、ａｎ）とも書く。右、両側イデアルも同様で、
　　　右イデアルのときは、Ｒを　ａｉ　の右側に、
　　　両側イデアルのときは、　ａｉ　の両側に掛ければよい。
　　
　　　Ｒの（右、左、両側）イデアル　Ｉ　が有限個の元で生成されているとき、
　　　Ｉ　を有限生成な（右、左、両側）イデアルという。

　　　ただ１つの元から生成された（右、左、両側）イデアルを、
　　　単項イデアルという。特に、可換環Ｒで全てのイデアルが単項イデアルであるとき、
　　　このＲを単項イデアル環という。更にＲが整域であるとき、これを、
　　　単項イデアル整域( Principal Ideal Domain ) 略して　ＰＩＤ　と書く。


　　　

※　Ｒを環とし、ＩをＲの（両側）イデアルとする。Ｉ　は（可換な）加法群Ｒの部分群であるから、
　　　Ｉ　はＲの正規部分群で、従って剰余群　Ｒ／Ｉ　を作ることができる。　Ｒ／Ｉ　の元を
　　　ｘ+Ｉ　と書くと、Ｒ／Ｉ　は加法　（ｘ+Ｉ）＋（ｙ＋Ｉ）＝（ｘ+ｙ）+Ｉ　によって群となる。
　　　単位元は　Ｉ　、ｘ+Ｉ　の逆元は　-ｘ+Ｉ　である。

定義　Ｒを環とし、ＩをＲの両側イデアル、Ｒ／Ｉ　をＲの　Ｉ　による剰余群とする。
　　　　Ｒ／Ｉ　∋ｘ+Ｉ　、ｙ+Ｉ　の乗法を
　
　　（ｘ+Ｉ）（ｙ+Ｉ）：＝ｘｙ+Ｉ　と定義すると、 これは代表元の取り方によらず定まり、
　　　Ｒ／Ｉ　は上の加法と乗法により環となる。

　　　　環　Ｒ／Ｉ　をＲのＩ　による剰余環という。



★★　準同型定理 ［定理集］

Ｒ、Ｒ´を環とする。ｆ　をＲからＲ´への写像とする。　　
∀ｘ、ｙ∈Ｒ　に対して、　ｆ（ｘ+ｙ）＝ｆ（ｘ）+ｆ（ｙ）　、　ｆ（ｘｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）
の２条件を満たすとき、ｆ　を ＲからＲ´への（環としての）準同型写像という。
群のときと同様に、全単射準同型写像を同型写像という｡環Ｒから環Ｒ´への
同型写像ｆが存在するとき、 Ｒと、Ｒ´は同型であるという。

　ｆを環Ｒから環Ｒ´への準同型写像とする｡
　　　（１） f（Ｒ）＝｛ｆ（ｘ）｜ｘ∈Ｒ　｝を、準同型写像ｆの像といって、Ｉｍｆ　であらわす。
　　　（２）群の準同型写像と同様に、環の準同型写像にも、その核（Ｋｅｒ）なるものが
　　　　　定義されている。
　　　　　　Ｋｅｒｆ＝｛ｘ∈Ｒ｜ｆ（ｘ）＝0´｝（但し、0´はＲ´の零元）　である。

定義　Ｉ　を環Ｒのイデアルとし、写像　ｆ：Ｒ→Ｒ／Ｉ　を　ｆ（ｘ）＝ｘ＋Ｉ　と定義すると、
　　　　ｆ　は準同型写像である。　Ｋｅｒｆ＝Ｉ　、ｆ　の像　Ｉｍｆ＝Ｒ／Ｉ　で、ｆ　は全射である。
　　　　この　ｆ　をＲからＲ／Ｉ（の上）への標準的準同型写像、標準全射などという。



（※　直積・直和、の辺りをスッ飛ばします。）


★★商体

　　整域Ｒの２つの元ａ、ｂ、ｂ≠０、に対して、
　　記号　ａ／ｂ　を考える。

　　　ａ／ｂ　と　ｃ／ｄ　とが等しい事を
　　　ａ／ｂ　＝　ｃ／ｄ　⇔　ａｄ-ｂｃ＝０　と定義する｡

　　　このように等号を定義して等しいものを同一視して　ａ／ｂ　の全体を
　　　Ｑ(Ｒ)と記す｡Ｑ(Ｒ)の２元　ａ／ｂ　、ｃ／ｄ　に対して、和および積を

　　　（ａ／ｂ）+（ｃ／ｄ）＝（ａｄ+ｂｃ）／ｂｄ
　　　（ａ／ｂ）*（ｃ／ｄ）＝（ａｃ）／ｂｄ　　　　　　と定義すると、

　　　Ｑ(Ｒ)は、１／１　を単位元とし、０／１　を零元とする体となる。

　　　また、写像
　　　　　　　　Ｒ　→　Ｑ(Ｒ)、　ａ→(ａ／１)

　　　は、可換環の中への同型写像であり、これによって、ａ　と　ａ／１　とを同一視
　　　し、Ｒ⊂Ｑ(Ｒ)と考える事が出来る｡
　　　このときのＱ(Ｒ)をＲの商体という。

例として、整数環Ｚの商体は有理数体Ｑである事が挙げられる｡



★★一意分解整域　［定理集］

Ｒを単位的可換環とし、a，b∈Ｒ、ｂ≠０　とする。
ａ＝ｂｃとなる、ｃ∈Ｒが存在するとき、ａはｂで割り切れる、
ａはｂの倍元、等といい　ｂ｜ａ　と書く。

特に、ｃとして単元が取れるとき、ａとｂは同伴であるといい、
ａ～ｂ　とも書く。

ｐ∈Ｒ　が０でも単元でもないとする。
ｐが次の条件（Ⅰ）を満たすとき、既約である、
既約元である、といい、満たさないとき、可約である、可約元であるという。

（Ⅰ）ａ∈Ｒについて、ａ｜ｐ　ならば、ａは単元であるか、ａ～ｐ　である。

　更に次の条件（ｐ）を満たすとき素元であるという。

（ｐ）ａ，ｂ∈Ｒについて、ｐ｜ａｂ　ならば、ｐ｜ａ　であるか、ｐ｜ｂ　である。

Ｒを整域とする。次の２条件を満たすとき、Ｒを一意分解整域（ＵＦＤ）という。
　
　　（１）分解可能性……０でも単元でもない任意のＸ∈Ｒは、
　　　　既約元　ｐ１、…、ｐｎ　によって、Ｘ＝ｐ１・…・ｐｎ　　と表される。

　　（２）分解の一意性……上の分解は、順序と同伴の差を除き一意的である。

　　　　　　即ち、既約元　ｐ1、…、ｐｎ、ｑ1、…ｑｍ　によって、
　　　　　　Ｘ＝ｐ1・…ｐｎ＝ｑ1・…ｑｍ　　と表されれば、ｎ＝ｍ　であって、
　　　　　　適当に順序を変えれば、ｐｉとｑｉ　は同伴である。



★★　極大・極小イデアル ［定理集］

Ｒを単位的可換環とする。ＲのイデアルＭが次の２条件を満たすとき、
ＭはＲの極大イデアルという。

　　（１）Ｍ≠Ｒ
　　（２）Ｉ　がＭを含むＲのイデアルであれば、Ｉ＝Ｍ　または、Ｉ＝Ｒ　である。

ＲのイデアルＰが次の２条件を満たすとき、ＰはＲの素イデアルであるという。
　　（１）Ｐ≠Ｒ
　　（２）ａ，ｂ∈Ｒについて、ａｂ∈Ｐ　ならば、ａ∈Ｐ　または　ｂ∈Ｐ　である。


（※ネーター環については、定義を定理集の中に入れておきました｡）

　


ここからは、体論です。体の定義はこちら。

★★体の拡大　［定理集］

　Ｌを体、ＫをＬの部分体とするとき、ＬをＫの拡大体という。
　さらに、ＭがＬの部分体、かつＫの拡大体であるとき、
　ＭをＬとＫの中間体という。

　Ｌを体、ＫをＬの部分体、ｘ1、・・・、ｘｎ∈Ｌとする。Ｋの元を
　係数とするｘ1、・・・、ｘｎの多項式全体をＫ[ｘ1、・・・、ｘｎ]
　と書き、Ｋにｘ1、・・・、ｘｎを添加して得られる環という｡
　Ｋ[ｘ1、・・・、ｘｎ]の商体で、Ｌに含まれているものを
　Ｋ(ｘ1、・・・、ｘｎ)と書き、Ｋにを添加して得られる体という｡

　そして、以下では、∀ｆ（ｘ1、・・・、ｘｎ）∈Ｋ[ｘ1、・・・、ｘｎ]を
　簡単のためにｆだけで表すことにする｡

　したがって、Ｋ(ｘ1、・・・、ｘｎ)＝{f／ｇ｜ｆ、ｇ∈Ｋ[ｘ1、・・・、ｘｎ]、ｇ≠０｝
　である。
　　
　また、Ｋ(ｘ1、・・・、ｘｎ)をＫ上有限生成の体という｡特に、Ｌ＝Ｋ(ｘ)と表されるとき、
　ＬをＫの単純拡大という。

定義　Ｌが体Ｋの拡大体であるとき、ＬをＫ上の線形空間とみなすことができる。
　　　　Ｋ上の線形空間としてのＬの次元を、ＬのＫ上の次数といい、[Ｌ：Ｋ]であらわす。
　　　　[Ｌ：Ｋ]＜∞のとき、ＬはＫの有限次拡大体、[Ｌ：Ｋ]＝∞のとき、
　　　　ＬはＫの無限次拡大であるという。

　　　　体Ｋの部分体がＫだけであるとき、Ｋを素体という｡

定義　Ｋを体とし、Ｋ０(ゼロ)をＫに含まれる素体とする｡
　　　　Ｋ０が有理数体Ｑと同型であるとき、Ｋの標数は０であるといい、
　　　　Ｋ０が　Z／ｐＺ（ｐは素数)と同型であるとき、Ｋの標数はｐであるという。
　　　　標数ｐ≠０の素体をFｐ（ｐは添字）、ＧＦ（ｐ）等とかく。

　　　　有限個の元からなる体を有限体という。無限個の元からなる体を無限体という。

定義　体Ｋの標数がｐ≠０であって、Ｋｐ＝｛ｘｐ｜ｘ∈Ｋ｝＝Ｋ　であるとき、
　　　　または、体Ｋの標数が０であるとき、Ｋを完全体という。



★★★代数拡大 ［定理集］

Ｌを体Ｋの拡大体とする｡
　　(１)∀ｘ∈Ｌに対して、０でない多項式ｆ(X)が存在して、ｆ（ｘ）＝０となるとき、
　　　　ｘはＫ上代数的であるという。そうでないとき、ｘはＫ上超越的であるという。
　　　
　　（２)Ｌのすべての元がＫ上代数的であるとき、ＬはＫ上代数的である、
　　　　ＬはＫの代数拡大である、という。そうでないときは、ＬはＫ上超越的である、
　　　　ＬはＫの超越拡大である、という。


定義　この定理(定理集参照)のｆ（Ｘ）をｘのＫ上の最小多項式という。
　　　　最高次の係数が１の最小多項式を　Ｉｒｒ(ｘ、Ｋ)と書く。


定義　Ｌを体Ｋの拡大体、Ｌ´を体Ｋ´の拡大体とし、σ１をＫからＫ´への
　　　　単射準同型、σ２をＬからＬ´への単射準同型とする｡

　　　　σ２のＫへの制限がσ１に等しいとき、σ２をσ１のＬへの拡張という｡

　　　　特に、Ｋ＝Ｋ´でσ１が恒等写像のとき、σ２をＫ上の単射準同型という｡
　　　　さらに、σ２が同型写像であるとき、σ２をＫ上の同型写像、
　　　　Ｋ同型写像という。



★★最小分解体 ［定理集］

　Ｋを体、ｆ（Ｘ）をＫ[Ｘ]の元とする。この系(定理集参照)のＬを
　　　　ｆ（Ｘ）のＫ上の分解体という｡

　　　　Ｌ[Ｘ]において、ｆ（Ｘ）＝ａ（Ｘ-ｘ1）*・・・*（Ｘ-ｘｎ）
　　　　ａ∈Ｋ、ｘ１，・・・、ｘｎ∈Ｌ　と分解されたとする｡

　　　　このとき、Ｋ(ｘ１，・・・、ｘｎ)をｆ（Ｘ）のＫ上の最小分解体という。


★★★分離拡大・非分離拡大 ［定理集］

定義

　体Ｋ上の多項式環Ｋ[Ｘ]の元ｆ（Ｘ）について、その多項式の微分を、
　解析学でやったものと同様のもので定義する｡

　ｆ（Ｘ）が既約のとき、ｆ´（Ｘ）≠０ならば、ｆ（Ｘ）はＫ上分離的であるという。
　　　　　　　　　　　　　ｆ´(Ｘ)＝０ならば、ｆ（Ｘ）はＫ上非分離的であるという。

さて、以下では非常にわかりにくい形の数式を
並べざるを得ませんでした。すみません。

1例を挙げますと、Ｘ（ｐ＾（ｅ＋１））　です。
うーん、分かりにくいですね。これの読み方は、
Ｘの・ｐの（ｅ＋１）乗・乗と読みます。

整式による表現はＸの肩にｐが、そして、ｐの肩にも（ｅ＋１）
が乗っかっている状態です。

プログラムを書く人にはスンナリ分かるでしょうが、
そうでない人には申し訳ありませんが、１度紙か何かに
書いてみることをお勧めします。

では、定義に移りたいと思います。

（１）　Ｋを標数ｐの体、Ｋ上の既約多項式　ｆ（Ｘ）を
　　　ｆ（Ｘ）∈Ｋ[　Ｘ（ｐ＾ｅ）　]　　かつ、ｆ（Ｘ）は、Ｋ［Ｘ（ｐ＾（ｅ＋１））］
　　　の元ではないとし、　ｆ（Ｘ）＝ｇ（Ｘ（ｐ＾ｅ））とする。
　　　　
　　　このとき、ｄｅｇ　ｇ　（ｇの次数）を　ｆ（Ｘ）の分離次数、
　　　（ｐ＾ｅ　）をｆ（Ｘ）の非分離次数、ｅをｆ（Ｘ）の非分離指数、と言う。

（２）ｘをＫ上代数的な元とする。
　　　Ｉｒｒ（ｘ、Ｋ）がＫ上分離的であるとき、ｘはＫ上分離的、または、
　　　分離代数的である、という。
　　　Ｉｒｒ（ｘ、Ｋ）がＫ上非分離的であるとき、ｘはＫ上非分離的である
　　　という。

（３）Ｋを、標数ｐの体とする。
　　（ⅰ）ｘ　をＫ上代数的な元とする。
　　　　　負でない整数ｅがあって、　ｘｐ^ｅ∈Ｋ　となるとき、
　　　　　ｘはＫ上純非分離的であるという。

　　（ⅱ）ＬをＫの代数拡大とする。
　　　　　Ｌのすべての元がＫ上分離的であるとき、ＬはＫ上分離的
　　　　　である、Ｋの分離拡大（体）であるという。

　　　　　ＬがＫ上非分離的な元を含むとき、ＬはＫ上非分離的である、
　　　　　Ｋの非分離拡大（体）であるという。

　　　　　Ｌのすべての元が、Ｋ上純非分離的であるとき、ＬはＫ上
　　　　　純非分離的、Ｋの純非分離拡大(体)である、という。


定義　Ｋ1、Ｋ２を体Ｌの部分体とする。Ｋ１の元とＫ２の元の積の
　　　有限和全体の集合を　Ｋ１Ｋ２　で表す。　即ち、
　
　　　　Ｋ１Ｋ２＝｛ΣＸｊ・Ｙｊ｜Ｘｊ∈Ｋ１、Ｙｊ∈Ｋ２、ｊ　は自然数　、１≦ｊ≦ｎ　｝
　　　　である。


系　Ｋを標数ｐの体、ＬをＫの代数拡大とする。

　　(ⅰ)Ｋ上分離的なＬの元全体の集合をＬｓとすると、
　　　　ＬｓはＫの分離拡大で、ＬはＬｓの純非分離拡大である。
　　
　　(ⅱ)ＭをＬとＫの中間体で、ＭはＫの分離拡大、ＬはＭの純非分離拡大
　　　　であるとすると、Ｍは(ⅰ)のＬｓと一致する。

定義　前命題の(ⅰ)のＬｓをＫのＬにおける分離閉包という。
　　　　[Ｌ：Ｋ]＝ｎ＜∞　のとき、[Ｌ：Ｌｓ]＝ｐ＾ｅ、　[Ｌｓ：Ｋ]＝ｍ、
　　　　従って、ｎ＝ｍ（ｐ＾ｅ）である。

　　　　ｍをＬのＫ上の分離次数、（ｐ＾ｅ）をＬのＫ上の非分離次数、
　　　　ｅをＬのＫ上の非分離指数といい、
　　　　ｍを［Ｌ：Ｋ］ｓ、（ｐ＾ｅ）を［Ｌ：Ｋ］ｉ　と書く。
　
　　　　Ｋの標数が０のとき、［Ｌ：Ｋ］＝［Ｌ：Ｋ］ｓ、［Ｌ：Ｋ］ｉ＝１　と定める。
　　　　従って、標数の如何に関わらず、［Ｌ：Ｋ］＝［Ｌ：Ｋ］ｓ・［Ｌ：Ｋ］ｉ　が成り立つ。



★★★正規拡大 ［定理集］

定義

　Ｋを体、ｘ、ｙをＫ上代数的な元とする。
　Ｉｒｒ（ｘ、Ｋ）＝Ｉｒｒ（ｙ、Ｋ）であるとき、
　ｘとｙはＫ上共役である、Ｋ上の共役元である、という。また、ｙはｘのＫ上の
　共役元である、という。

　Ｋを体、ＬをＫの代数拡大とする。Ｌの任意の元に対し、ｘのＫ上の共役元
　がすべてＬに含まれるとき、ＬはＫの正規拡大（体）である、という。



★ノルム・トレース

　Ｌを体Ｋの有限次拡大、Ｌ1をＬを含むＫの正規拡大とし、［Ｌ：Ｋ］ｓ＝ｎとおく。
　Ｌから、Ｌ1の中への相異なるＫ上の単射準同型写像は丁度ｎ個あり、
　それらを、σ１、・・・、σｎ　とする。　任意のｘ∈Ｌ　にたいし、

　　　　　Ｎ（ｘ）＝Π（σｊ（ｘ））［Ｌ：Ｋ］ｉ　　をｘのＬからＫへのノルムといい、
　　　　　Ｔ（ｘ）＝［Ｌ：Ｋ］ｉ　・Σσｊ（ｘ）　　　をｘのＬからＫへのトレースという。（但し、１≦ｊ≦ｎ　）




★★★ガロア拡大 ［定理集］

Ｌを体Ｋの正規拡大とする。ＬのＫ自己同型写像全体の成す集合を、
ＬのＫ上のガロア群といい、Ｇ（Ｌ／Ｋ）と書く。

体Ｌが、体Ｋの分離かつ正規拡大であるとき、ＬをＫのガロア拡大（体）という。
ＬがＫのガロア拡大であって、ガロア群Ｇ（Ｌ／Ｋ）がアーベル群であるとき、
ＬをＫのアーベル拡大（体）という。
ガロア群Ｇ（Ｌ／Ｋ）が巡回群であるとき、ＬをＫの巡回拡大（体）という。



★★★代数的に解ける方程式 [定理集]

　Ｋを体、Ｌ を Ｋの有限次拡大体とする。
　　（ⅰ）次の２条件を満たすようなＫの拡大体の列
　　　　　　がとれるとき、Ｌ は Ｋの広義べき根拡大体である、という。
　　　　　　特に、ｒ ＝１ のときは、単に、べき根拡大体という。

　　　　　　　（１）Ｋ＝Ｋ０ ⊂ Ｋ１ ⊂ ･･･ ⊂ Ｋｒ ＝Ｌ
　　　　　　　（２）Ｋｉ ＝ Ｋｉ－１（αｉ） 、
　　　　　　Ｉｒｒ （αｉ 、 Ｋｉ－１）＝ Ｘｎ － ａｉ

　　　（ⅱ）Ｋの広義べき根拡大体Ｌ´を適当に選び、Ｌ´ ⊃ Ｌ とできるとき、
　　　　　 Ｌ は Ｋ上べき根によって構成される、という。

　Ｋを体、ｆ （Ｘ）＝ａ０Ｘｎ ＋ ａ１Ｘｎ－１ ＋ ･･･ ＋ ａｎ を Ｋ係数の多項式とし、
　Ｑ（ａ１／ａ０、･･･、ａｎ／ａ０） 上のｆ （Ｘ） の最小分解体をＬとする。

　Ｌが、Ｑ（ａ１／ａ０、･･･、ａｎ／ａ０）上べき根によって構成される時、
　方程式 ｆ （Ｘ）＝０ はべき根によって解ける、代数的に解ける、 　という｡

　ｆ （Ｘ）＝ａ０Ｘｎ ＋ ａ１Ｘｎ－１ ＋ ･･･ ＋ ａｎ 、Ｋ ＝Ｑ（ ａ１、･･･、ａｎ ）とし、
　Ｌ を Ｋ上のｆ （Ｘ） の最小分解体とする｡

　Ｌ は Ｋ のガロア拡大であるから、
　ガロア群 Ｇ（Ｌ／Ｋ） を考えることが出来る｡
　Ｇ（Ｌ／Ｋ）を、方程式 ｆ （Ｘ）＝０ の ガロア群、
　または、多項式 ｆ （Ｘ） のガロア群、という。

　ａ１、･･･、ａｎ をＱ上代数的に独立な元とする｡　
　即ち、Ｑ［ａ１、･･･、ａｎ ］ は、Ｑ上 ｎ 変数多項式環と同型であるとする｡

　このとき、Ｘｎ ＋ ａ１Ｘｎ－１ ＋ ･･･ ＋ ａｎ ＝０ を
　一般の ｎ 次代数方程式、
　または、一般の ｎ 次方程式という｡



群の定理集


★★部分群 ［定義集］

　定理（群の必要十分条件）

　　Ｇ、Ｈを群、Ｈ⊆Ｇとする。このとき、

　　　(１)ＨがＧの部分群であれば、
　　　　　(ⅰ)Ｈは空ではなく
　　　　　(ⅱ)ｘ、ｙ∈Ｈ　⇒　ｘｙ∈Ｈ
　　　　　(ⅲ)ｘ∈Ｈ　⇒　ｘ-1∈Ｈ
　　　　　　　　
　　　　が成り立つ。特に、ＨとＧの単位元は一致する。

　　　(２)Ｈが上の条件をすべて満たすならば、
　　　　　ＨはＧの部分群である。

　系　　Ｇを群とする。｛Ｈλ｜λ∈Λ｝をＧの
　　　　部分群の集合とする。このとき、
　　　　∩Ｈλ（λ∈Λ）はＧの部分群である。

　命題　Ｇを巡回群とする。ＨをＧの部分群とすると、
　　　　　Ｈもまた巡回群となる。特に、無限巡回群の
　　　　　真の部分群もまた無限巡回群となる。

　系　　加法群Ｚの部分群Ｈはすべて巡回群である。
　　　　つまり、あるｎ∈Ｈが存在して、
　　　　Ｈ＝〈ｎ〉＝｛０、±１、±２、……　｝である。


★★部分群による類別 ［定義集］

　定理　Ｇを群、ＳをＧの部分集合とする。

　　　　　　(ⅰ)ａ∈Ｇを定めたとき、写像
　　　　　　　ｆ：Ｓ→ａＳ、ｘ→ａｘ　は全単射である。

　　　　　　(ⅱ)Ｇを有限群、Ｈ＜Ｇとする。このとき、
　　　　　　　｜Ｇ｜＝（Ｇ：Ｈ）｜Ｈ｜　が成り立つ。
　　　　　特に｜Ｈ｜は｜Ｇ｜の約数である。（ラグランジュの定理）

　系　　Ｇを有限群、ｎ＝｜Ｇ｜としたとき、∀ａ∈Ｇについて、

　　　　　(ⅰ）ａの周期はｎの約数である。
　　　　　(ⅱ)ａｎ＝ｅ　（ｅ：Ｇにおける単位元)



★★★準同型定理 ［定義集］

　命題　群の準同型ｆ：Ｇ→Ｇ´に対し、
　　　　　（ⅰ）ｆ（ｅ）＝ｅ´
　　　　　（ⅱ）∀ｘ∈Ｇに対し、ｆ（ｘ-１）＝ｆ（ｘ）-１

　命題　群の準同型ｆ：Ｇ→Ｇ´に対し、

　　　　　（ⅰ）Ｉｍｆ　は、Ｇ´の部分群である。
　　　　　（ⅱ）Ｋｅｒｆ　は、Ｇの正規部分群である。

　命題　　（ⅰ）Ｇを群、ＮをＧの正規部分群とする。
　　　　　　　　このとき、写像　φ：Ｇ　→　Ｇ／Ｎ、　ｘ　→　ｘＮ
　　　　　　　　は全射準同型であって、　Ｋｅｒφ＝Ｎ　である。
　　　　　　　　これを、自然準同型、標準全射などという。

　　　　　（ⅱ）準同型定理

　　　　　　　　ｆ：Ｇ→Ｇ´　を群の準同型、Ｎ＝Ｋｅｒｆとする。

　　　　　　　　このとき、写像ｇ：Ｇ／Ｎ→Ｇ´、ｘＮ　→　ｆ（ｘ）　
　　　　　　　　によって、Ｇ／Ｎ　　Ｉｍｆ　となる。

　定理　Ｇを群、ｆ：Ｇ→Ｇ´　を群の準同型とする。

　　　　（ⅰ）Ｎ⊆Ｇが正規部分群、Ｎ⊆Ｋｅｒｆ　ならば、
　　　　　　　ｆ　は準同型写像　
　　　　　　　　　ｇ：Ｇ／Ｎ→Ｇ´、　ｘ　→　ｘＮ　を引き起こす。
　　　
　　　　（ⅱ）第一同型定理

　　　　　　　ｆ　が全射、Ｎ´をＧ´の正規部分群、Ｎ＝ｆ-１（Ｎ´）であれば、
　　　　　　　ＮはＧの正規部分群であって、
　　　　　　　Ｇ／Ｎ　　Ｇ´／Ｎ´　、　ｘＮ　→ｆ　（ｘ）Ｎ´　　である。

　定理　Ｇを群、Ｈ＜Ｇ、ＮをＧの正規部分群とする。このとき、

　　　　（ⅰ）ＨＮ＝ＮＨ　であって、ＨＮはＧの部分群である。

　　　　（ⅱ）第二同型定理

　　　　　　　Ｈ∩Ｎ　はＨの正規部分群であって、
　　　　　　　Ｈ／（Ｈ∩Ｎ）　　ＨＮ／Ｎ　　、ｈ（Ｈ∩Ｎ）　→　ｈＮ

　定理　第三同型定理

　　　　Ｇを群、Ｎ、ＭをＧの正規部分群 Ｎ⊆Ｍとする。
　　　　このとき、Ｍ／Ｎ　は、Ｇ／Ｎ　の正規部分群で、
　　　　Ｇ／Ｎ→Ｇ／Ｍ、　ｘＮ　→　ｘＭ　は全射準同型で、
　　　　Ｇ／Ｍ　　（Ｇ／Ｎ）／（Ｍ／Ｎ）　である。


環の定理集



★★★準同型写像 ［定義集］

　命題　ｆ　を環Ｒから、環Ｒ´への準同型とする。
　　　（ⅰ）Ｉ　がＲのイデアルであれば、ｆ（Ｉ）は
　　　　　　Ｉｍｆ　のイデアルである。

　　　（ⅱ）Ｉ´　がＲ´のイデアルであれば、
　　　　　　ｆ-１（Ｉ´）＝｛ｘ∈Ｒ｜ｆ（ｘ）∈Ｉ´｝は
　　　　　　Ｒのイデアルである。特に、
　　　　　　Ｋｅｒｆ　は、Ｒのイデアルである。

　命題　Ｉを環Ｒのイデアルとすると、
　　　　　Ｉを含むＲのイデアルと、Ｒ／Ｉのイデアル
　　　　　は一対一に対応し、その対応は包含関係
　　　　　を変えない。

　定理　準同型定理

　　　　　ｆ　を環Ｒから環Ｒ´への準同型写像とすると、
　　　　　写像　（ｘ＋Ｋｅｒｆ）　→　ｆ（ｘ）　により、
　　　　　Ｒ／Ｋｅｒｆ　　Ｉｍｆ　　が成り立つ。

　定理　第一同型定理

　　　　　ｆ　環Ｒから、環Ｒ´への全射準同型写像、
　　　　　Ｉ´をＲ´のイデアルとし、Ｉ＝ｆ-１（Ｉ´）　とすると、
　　　　　Ｒ／Ｉ　　Ｒ´／Ｉ´、（ｘ＋Ｉ）　→　（ｆ（ｘ）＋Ｉ´）

　　　　　第二同型定理

　　　　　Ｓを環Ｒの部分環、ＩをＲのイデアルとし、
　　　　　Ｓ＋Ｉ＝｛ｘ＋ａ｜ｘ∈Ｓ、ａ∈Ｉ　｝とおくと、
　　　　　Ｓ＋Ｉ　はＲの部分環、Ｉ　はＳ＋Ｉ　のイデアル、
　　　　　Ｓ∩Ｉ　はＳのイデアルで、
　　　　　Ｓ／（Ｓ∩Ｉ）　　（Ｓ＋Ｉ）／Ｉ、　ｘ＋Ｓ∩Ｉ　→　ｘ＋Ｉ
　　　　
　　　　　第三同型定理

　　　　　Ｉ、Ｊを環Ｒのイデアルで、Ｊ⊂Ｉ　とすると、
　　　　　Ｉ／ＪはＲ／Ｊのイデアルで、Ｒ／Ｊ　から　Ｒ／Ｉ　への写像
　　　　　ｘ＋Ｊ　→　ｘ＋Ｉ　によって、
　　　　　（Ｒ／Ｊ）／（Ｉ／Ｊ）　　Ｒ／Ｉ　　が成り立つ。

　命題　ｆ　を環Ｒから環Ｒ´への準同型写像、Ｉ　をＫｅｒｆ　に
　　　　　含まれるＲのイデアル、ｈをＲからＲ／Ｉへの標準的準同型とする。　
　　　　　Ｒ／ＩからＲ´への写像　ｇを　　ｇ（ｘ＋Ｉ）＝ｆ（ｘ）　と定義すると、
　　　　　ｇは準同型写像であって、　ｇｈ＝ｆ　　である。



★★一意分解整域 ［定義集］

　定理　ＲがＵＦＤであるための必要十分条件は、
　　　　　Ｒが整域であって、次の２条件を満たす事である。
　　　　　（ⅰ）０でも単元でもない任意の　ｘ∈Ｒ　は、
　　　　　　　　既約元　ｐ１、ｐ２、･･･、ｐｒ　によって、
　　　　　　　　ｘ＝ｐ１ｐ２・・・ｐｒ　　と表される。
　　　　　（ⅱ）Ｒの既約元は素元である。

　定理　ＲをＵＦＤとすると、Ｒ［Ｘ］もＵＦＤである。


★★極大・極小イデアル ［定義集］

　命題　Ｒを単位的可換環とし、Ｉ　をＲのイデアルとする。

　　　　（ⅰ）Ｉ　が素イデアル　⇔　Ｒ／Ｉ　は整域
　　　　（ⅱ）Ｉ　が極大イデアル　⇔　Ｒ／Ｉ　は体

　　　　この事から、極大イデアルは素イデアルで
　　　　ある事が分かる。

　定理　単位的可換環Ｒは極大イデアルを持つ。

　系　　Ｒを単位的可換環、Ｉ（≠Ｒ）をＲのイデアルとする。
　　　　Ｉ　を含むＲの極大イデアルが存在する。


★★ネーター環

定義　可換環Ｒの全てのイデアルが有限生成で
　　　　あるとき、Ｒをネーター環という。
　　　　そして、次の定理はネーター環の
　　　　性質として基本的である。

定理　可換環Ｒに関して、次の３条件は同値である。

　　　（ⅰ）Ｒの全てのイデアルは有限生成である。

　　　（ⅱ）Ｒは昇鎖律を満たす。
　　　　　　即ち、Ｒのイデアルの増大列
　　　　　　Ｉ１ ⊂ Ｉ２ ⊂ ･･･ ⊂ Ｉｎ ⊂･･･　に対して、
　　　　　　Ｉｍ ＝ Ｉｍ＋１ ＝･･･
　　　　　　となる正整数ｍが存在する。

　　　（ⅲ）Ｒのイデアルを元とする集合 Ｆ は
　　　　　　必ず極大元を持つ。即ち、Ｉ ∈ Ｆに対して、
　　　　　　Ｊ∈Ｆ、Ｉ⊂Ｊであれば、Ｉ ＝Ｊが必ず成立
　　　　　　するようなイデアルＩが存在する。

命題　Ｒ、Ｒ´を環、ｆ：Ｒ→Ｒ´　を準同型写像とする。
　　　　Ｒがネーター環であれば、Ｉｍｆ　もネーター環である。
　　　　従って、Ｒの剰余類もネーター環である。

定理　ネーター環Ｒの元を係数とする
　　　　１変数多項式の全体、つまり、
　　　　Ｒ上の１変数多項式環Ｒ［ｘ］はネーター環である。

系　　体Ｋ上の多項式環Ｋ［ｘ１、･･･、ｘｎ］はネーター環である。


　体の定理集


★★★体の拡大 ［定義集］

　命題　（ⅰ）素体は有理数体Ｑか、Ｚ／ｐＺと同型（ｐは素数）
　　　　　（ⅱ）任意の体は、素体をただ１つ含む。

　定理　Ｋを有限体とし、｜Ｋ｜＝ｑ　とする。

　　　（ⅰ）Ｋの標数はｐであって、ｑ＝ｐｎである。
　　　　　　但し、Ｋの素体をＫ０として、[Ｋ：Ｋ０]＝ｎ

　　　(ⅱ)　Ｋ－｛０｝＝Ｋ*　は位数ｑ－１の乗法群である。

　命題　有限体は完全体である。



★★★代数拡大 ［定義集］

　定理　ｘを体Ｋの拡大体の元とする。
　　　　(ⅰ)ｘがＫ上代数的　⇔　Ｋ（ｘ）＝Ｋ[ｘ]
　　　　(ⅱ)ｘがＫ上代数的で、
　　　　　　ｄｅｇ　Ｉｒｒ（ｘ、Ｋ）＝ｎ　⇒　[Ｋ（ｘ）：Ｋ]＝ｎ



★★★最小分解体 ［定義集］

　定理　Ｋを体とする。ｆ（Ｘ）∈Ｋ[Ｘ]を既約多項式とする。
　　　　このとき、次の条件（＊）を満たすような
　　　　Ｋの拡大体Ｌが存在する。
　　　　（＊）Ｌ＝Ｋ（ｘ）と表され、Ｉｒｒ（ｘ、Ｋ）＝ｆ（Ｘ）

　　　また、この様なＬは、Ｋ同型の差を除き一意的に定まる。
　　　即ち、Ｌ´も（＊）を満たせば、
　　　　Ｋ同型写像　σ：Ｌ→Ｌ´　が存在する。

　系　　Ｋを体とする。ｆ（Ｘ）∈Ｋ[Ｘ]を必ずしも既約ではない
　　　　とし、ｄｅｇｆ（Ｘ）＝ｎ　とする。このとき、
　　　　Ｋの拡大体Ｌを適当に選べば、Ｌ[Ｘ]において、ｆ（Ｘ）は
　　　一次式の積に分解される。

　系　　Ｋを体とする。ｆ（Ｘ）∈Ｋ[Ｘ]とする。
　　　　ｆ（Ｘ）のＫ上の最小分解体はＫ同型の差を除き
　　　一意的に定まる。

　　　即ち、Ｌ１、Ｌ２が共にｆ（Ｘ）のＫ上の最小分解体であれば、
　　　Ｋ同型写像　σ：Ｌ１→Ｌ２　が存在する。



★★★分離拡大・非分離拡大 ［定義集］

　定理　Ｋを標数ｐの体、ｘをＫ上代数的な元、Ｉｒｒ（ｘ、Ｋ）＝ｆ（Ｘ）
　　　　　とする。

　　　ｘがＫ上非分離的　⇔　ｘがｆ（Ｘ）＝０　の重根である。
　　　言い換えると、
　　　ｘがＫ上分離的　⇔　ｘがｆ（Ｘ）＝０　の単根である。　となる。

　系　　Ｋを標数ｐの体、ｆ（Ｘ）∈Ｋ[Ｘ]を既約多項式、
　　　　ｆ（Ｘ）の分離、非分離次数をそれぞれｎ、（ｐ＾ｅ）とする。
　　　　ｆ（Ｘ）のＫ上の分解体において、

　　　　ｆ（Ｘ）＝ａΠ（Ｘ－ｘｉ）（ｐ＾ｅ）　（１≦ｉ≦ｎ）　
　　　　と表される。

　命題　Ｋを標数ｐの体、ＬをＫの代数拡大体、ｘ∈Ｌとする。

　　　　（ⅰ）ｘがＫ上分離的かつ純非分離的　⇔　ｘ∈Ｋ
　　　　（ⅱ）ＬがＫ上分離的かつ純非分離的　⇔　Ｌ＝Ｋ
　　　　（ⅲ）ＬがＫの有限次純非分離拡大であれば、
　　　　　　　[Ｌ：Ｋ]＝（ｐ＾ｅ）　（ｅは非負整数）である。

　命題　Ｋを標数ｐの体、ＬをＫの代数拡大体、
　　　　　ＭをＬ、Ｋの中間体、ｘ∈Ｌ　とする。

　　　（ⅰ）ｘがＫ上分離的　⇒　ｘはＭ上分離的
　　　（ⅱ）ＬがＫの分離拡大　⇔　ＬはＭの、ＭはＫの分離拡大。

　命題　Ｋを標数ｐの体、Ｌ＝Ｋ（ｘ）をＫの代数拡大
　　　　　Ｉｒｒ（ｘ、Ｋ）＝ｆ（Ｘ）とする。このとき、
　　　　　[Ｌ：Ｋ]ｓ　はｆ（Ｘ）の分離次数、
　　　　　[Ｌ：Ｋ]ｉ　はｆ（Ｘ）の非分離次数に等しい。

　定理　Ｋを標数ｐの体、ＬをＫの有限次代数拡大、
　　　　　ＭをＬ、Ｋの中間体、とする。

　　　[Ｌ：Ｋ]ｓ＝[Ｌ：Ｋ]ｓ[Ｌ：Ｋ]ｓ
　　　[Ｌ：Ｋ]ｉ＝[Ｌ：Ｋ]ｉ[Ｌ：Ｋ]ｉ　　が成り立つ。



★★★正規拡大 ［定義集］

　補題　Ｋを体、ｆ（Ｘ）∈Ｋ[Ｘ]、Ｌをｆ（Ｘ）のＫ上の
　　　　　最小分解体、Ｌ´をＬの拡大体とする。
　　　　　σがＬからＬ´の中へのＫ上の単射準同型であれば、
　　　　　σ（Ｌ）＝Ｌである。

　定理　Ｌは体Ｋの有限次正規拡大　
　　　　　⇔　Ｌはあるｆ（Ｘ）∈Ｋ[Ｘ]の最小分解体

　系　　Ｌを体Ｋの拡大体、ＭをＬとＫの中間体とする。

　　　　ＬがＫの有限次正規拡大　⇒　ＬはＭの有限次正規拡大

　系　　Ｌを体Ｋの有限次正規拡大とし、ｘ、ｙ∈Ｌとする。

　　　　　(ⅰ)ｘ、ｙがＫ上共役
　　　　　　　　⇔　σ（ｘ）＝ｙ　なるＬのＫ自己同型が存在する。

　　　　　(ⅱ)Ｋの標数がｐ（≠０）のとき、
　　　　　　　　ｘがＫ上純非分離的　⇔　Ｌの任意のＫ自己同型σに対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　σ（ｘ）＝ｘ

　補題　Ｍを体Ｋの有限次拡大、Ｌ＝Ｍ（ｘ）をＭの分離(代数)拡大、
　　　　　Ｌ１をＬを含むＫの正規拡大、
　　　　　σをＭからＬ１の中へのＫ上の単射準同型とする。

　　　このとき、σをＬからＬ１の中へのＫ上の単射準同型に
　　　拡張できて、その相異なる拡張の仕方は丁度　[Ｌ：Ｍ]個ある。

　定理　Ｌ を体Ｋ の有限次分離拡大とすると、
　　　　　Ｌ は Ｋの単純拡大である。

　系　　前補題に続いて……

　　　更に、
　　　(ⅰ)Ｋの標数がｐ（≠０）で、ＬがＭの純非分離拡大であれば、
　　　　　その拡張の仕方はただ１通りである。

　　　(ⅱ)[Ｌ：Ｍ]ｓ＝ｎであれば、その相異なる拡張の仕方は、
　　　　　丁度ｎ通りある。

　系　　Ｌを体Ｋの有限次拡大、Ｌ１をＬを含むＫの正規拡大、
　　　　[Ｌ：Ｋ]ｓ＝ｎとする。

　　　(ⅰ）Ｌから、Ｌ１の中へのＫ上の単射準同型写像全体のなす集合Ｓは、
　　　　　丁度ｎ個の元から成る。

　　　(ⅱ)ＬのＫ自己同型写像全体の成す集合をＧとし、
　　　　　写像の合成を積として定義すれば、Ｇは位数がｎ以下の群となる。
　　　　　
　　　　　更に、｜Ｇ｜＝ｎ　⇔　ＬはＫの正規拡大



★★★ガロア拡大 ［定義集］

　定理　ガロアの定理　その１

　　　体Ｌを体Ｋの有限次ガロア拡大とする。
　　　ガロア群Ｇ（Ｌ／Ｋ）の部分群Ｈに対して、
　　　Ｈのすべての元に関して不変なＬの元全体の集合をＬ（Ｈ）とおく。

　　　ＬとＫの中間体Ｍに対して、ガロア群Ｇ（Ｌ／Ｍ）は、
　　　Ｍのすべての元を動かさないＧ（Ｌ／Ｋ）の元全体から成る部分群と一致する。

　　　このとき、ＬとＫの中間体全体の集合ιと
　　　Ｇ（Ｌ／Ｋ）の部分群κとは、

　　　φ：ι→κ、Ｍ→Ｇ（Ｌ／Ｍ）　ψ：κ→ι、Ｈ→Ｌ（Ｈ）

　　　によって１体１に対応し、包含関係を逆にする。即ち、

　　　Ｍ１⊇Ｍ２　⇒　φ（Ｍ１）⊆　φ（Ｍ２）
　　　Ｈ１⊇Ｈ２　⇒　ψ（Ｈ１）⊆　ψ（Ｈ２）　　　である。



　補題　Ｋ、Ｋ´を体とし、σ１、･･･、σｎ を乗法群Ｋ* からＫ´* への
　　　　　相異なる準同型写像とし、σｉ （０）＝０´ を満たすものとする。

　　　　　このとき、σ１、･･･、σｎ はＫ´上線形独立である。

　　　　　即ち、ｃ１、･･･、ｃｎ∈Ｋ´があって、∀ｘ∈Ｋに対して、
　　　　　（ｃ１σ１＋･･･＋ｃｎσｎ）（ｘ）：＝ｃ１σ１（ｘ）＋･･･＋ｃｎσｎ（ｘ）＝０´
　　　　　であれば、
　　　　　ｃ１＝･･･＝ｃｎ＝０´　　である。

　定理　Ｌ を体Ｋの有限次巡回拡大、Ｇ（Ｌ／Ｋ）＝< σ >　とする。
　　　　　このとき ｘ∈Ｌが、Ｎ（ｘ）＝１　を満たせば、適当な ｙ∈Ｌ をとって、

　　　　　ｘ＝σ（ｙ）／ｙ　と表す事が出来る。


　定理　体Ｋが、１の原始ｎ乗根ζを含むとする。

　　　　　（１）Ｌ が Ｋ のｎ次巡回拡大
　　　　　　　　　⇒ Ｌ＝Ｋ（ｘ）、Ｉｒｒ（ｘ、Ｋ）＝Ｘｎ－ｘｎ　となる ｘ が存在する。

　　　　　（２）Ｌ ＝Ｋ（ｘ）、ｘｎ＝ａ∈Ｋ
　　　　　　　　　⇒ Ｌ は Ｋ の巡回拡大で、［ Ｌ：Ｋ ］｜ｎ　　である。

　定理　Ｋ を体、ζを、Ｋの拡大体含まれる１の原始ｎ乗根とする。

　　　　　（１） Ｋ（ζ） は、Ｋ のアーベル拡大である。
　　　　　（２） ｎ が素数ならば、
　　　　　Ｋ（ζ） は Ｋ の巡回拡大である。



★★★代数的に解ける方程式 ［定義集 ］
補題　Ｋ を体とし、任意の自然数 ｎ に対して、
　　　 全ての１の原始 ｍ 乗根（ ｍ＝１、･･･、ｎ ） から成る集合をΓｎ とする。
　　　 Ｋｎ＝Ｋ（Γｎ） とすると、Ｋｎ はＫ の広義べき根拡大である。

補題　Ｋを体、Ｌ を Ｋの拡大体、Ｌ１、Ｌ２ を Ｌ とＫ の中間体とする。
　　　　（但し、標数は０とは限らない）
　　　　Ｌ１ が、Ｋ の有限次ガロア拡大であれば、
　　　　Ｌ１Ｌ２ はＬ２ の有限次ガロア拡大であって、
　　　　Ｇ（ Ｌ１Ｌ２／Ｌ２） 　 　Ｇ（ Ｌ１／Ｌ１ ∩ Ｌ２） が成り立つ｡

補題　Ｋ を体、Ｌ をＫ の拡大体、Ｌ１、Ｌ２ を Ｌ とＫ の中間体とする。
　　　　（但し、標数は０とは限らない）
　　　　Ｌ１、Ｌ２ がＫ の有限次ガロア拡大であれば、
　　　　Ｌ１Ｌ２ も Ｋ の有限次ガロア拡大である。


定理　ガロアの定理　その２
　　　　Ｋ を標数 ０ の体とし、ｆ （Ｘ） ∈Ｋ［Ｘ］ とする。

　　　　方程式 ｆ （Ｘ）＝０ が代数的に解ける
　　　　　　　　　⇔　ｆ （Ｘ） のガロア群が可解群である。

系　　一般の５次以上の代数方程式
　　　　ｆ （Ｘ） ＝Ｘｎ ＋ ａ１Ｘｎ－１ ＋ ･･･ ＋ ａｎ ＝０
　　　　は、代数的に解けない｡




参考文献　　　
　　　　　　詳解代数入門　　　彌永　昌吉　　　　　東京図書
　　　　　　　　　　　　　　　　　　有馬　　哲
　　　　　　　　　　　　　　　　　　浅枝　　陽