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navier stokes eq.　は、理想流体に対する　euler eq.　；

★ρ［∂ｖ_i/∂ｔ＋　Σ[k=1..3]ｖ_k（∂ｖ_i/∂ｘ_k）］＝−∂ｐ/∂ｘ_i

　ρ：質量密度［ｋｇ/ｍ＾３］
　ｖ_i，ｖ_ｋ：速度ベクトルｖ＝Σ[i=1..3]ｖ_i＝Σ[ｋ=1..3]ｖ_ｋの成分
　ｐ：圧力［Ｎ/ｍ＾２］

に、

エネルギーの移動に対する非可逆項（σ_{ik}；※）
＝エネルギー散逸過程
＝粘性項
＝運動量の輸送（流体要素間の内部摩擦）＋熱の輸送

を加え、

単位体積あたりの外力ｆ［N/ｍ＾３］

も加えたものが、Navier＝Stokes eq．になります。
　※（σ_{ik}）＝２階のテンソル

粘性は、流体の座標（ｘ_ｋ）間で運動量に差が、生じる事で、流体間の運度量の移動が
起こり、その運動量の移動で、流体間で、内部摩擦「力」が生じ、エネルギー散逸が
起こります。

流体間で運動量に差が生じているので、流体の場所（ｘ_ｋ）によって、運動量に差が出る
ので、その運動量の移動は、座標（ｘ_ｋ）に依存している事を意味します。それは、

　流体要素の速度ｖ_iが、座標ｘ_ｋに依存しており、
　座標ｘ_kに対する変化（∂ｖ_i/∂ｘ_，∂＾２ｖ_i/∂ｘ_ｋ∂ｘ_ｊ，・・・）が 
　粘性を意味しますので、粘性項（σ_{ik}）は

　σ_{ik}　は　速度ｖ_i　の　座標ｘ_ｋ　に対する変化
　
　　∂ｖ_i/∂ｘ_ｋ，∂＾２ｖ_i/∂ｘ_ｋ∂ｘ_ｊ，・・・

を含む事となります。物理的な要請

[[要請1]]．
自然現象では、
　速度ｖ_i　の　座標ｘ_ｋ　に対する　「１次」の変化　：∂ｖ_i/∂ｘ_ｋ
だけが粘性（σ_{ik}）に効いてくる事が殆どなので、

⇒∂＾２ｖ_i/∂ｘ_ｋ∂ｘ_ｊ，・・・，
　∂＾ｍｖ_i/∂ｘ_k∂ｘ_j・・・∂ｘ_p
　などの、速度ｖ_iの座標に対する「高次（２次以上）」の変化は、無視する　　

[[要請2]].
単位ベクトルを　e_x, e_y, e_z　とします。
　流体が、一定の回転　Ω＝ωe_z（＝ｚ方向の定数ベクトル）で流れている時、
それは一様流体となり、（流体の速度：ｖ）は　
　ｒ＝xe_x+ye_y、
　Ω＝ωe_z
　ｖ＝Ω×ｒ＝（ベクトルΩ）と（流体の位置ベクトルｒ）との外積
　⇔ｖ_x＝−ωｙ，ｖ_y＝ωｘ・・・�@　　　　　　
で表されるので、速度（ｖ_i）が座標（ｘ_k）に依存していても、粘性項（σ_{ik}）
を考えると、�@の様な場合は、粘性項（σ_{ik}）＝０とならないといけない、ので

⇒粘性項（σ_{ik}）は、単独で、

　σ_{ik}＝a∂ｖ_i/∂ｘ_k

のようには、粘性項の中には現れないで、対称に

　σ_{ik}＝a[ ∂ｖ_i/∂ｘ_k + ∂ｖ_k/∂ｘ_i　］

と現れる事になる。
※事実、�@より、　　
　σ_{xy}＝∂ｖ_ｘ/∂ｙ + ∂ｖ_ｙ/∂ｘ＝−ω＋ω＝０、
となっています。次に、流体の湧き出し、吸い込み、現象を考える必要があるので、

　b∂ｖ_j/∂ｘ_j　〜　ｂ∇・ｖ

の項を粘性項(σ_{ik})加えます。
-------------------------＞＞

以上の考察より、粘性項(σ_{ik})は、δ_{ik}をクロネッカーのδとして、

粘性項(σ_{ik})
　＝ a[ ∂ｖ_i/∂ｘ_k + ∂ｖ_k/∂ｘ_i　］＋ bδ_{ik}b∂ｖ_j/∂ｘ_j
　
という形式を持ちます。もう少し扱いやすい形式にすると、
　粘性係数（ξ、ξ）を導入して、

粘性項(σ_{ik})
　＝ ξ[ ∂ｖ_i/∂ｘ_k + ∂ｖ_k/∂ｘ_i　−（２/３）δ_{ik}∂ｖ_j/∂ｘ_j］
　　＋
     ηδ_{ik}∂ｖ_j/∂ｘ_j

とする事が慣習です。

-------------------＞＞
この粘性項(σ_{ik})は、［N/ｍ＾２］＝［運動量/(ｓ・ｍ＾２)］という次元を持つので、
運動量流束密度になります。この運動量流束密度σ_{ik}の座標変化（ｘ_ｋ）：は

★★　∂σ_{ik}/∂ｘ_ｋ　は　［N/ｍ＾３］＝［単位体積あたりの力］　

なので、Euler方程式★の左辺、

　ρ［∂ｖ_i/∂ｔ＋　Σ[k=1..3]ｖ_k（∂ｖ_i/∂ｘ_k）］
＝ρ［∂ｖ/∂ｔ＋（ｖ・∇）ｖ］
＝ρ［ｄｖ/ｄｔ］
＝［ｋｇ/ｍ＾３］［ｍ/ｓ＾２］
＝［ｋｇ・ｍ/ｓ＾２］［１/ｍ＾３］
＝［N/ｍ＾３］
＝［単位体積あたりの力］

になります。よって、Euler方程式★の右辺に粘性の効果である、★★を加えて、

(NS-eq.)★★★ρ［∂ｖ_i/∂ｔ＋　Σ[k=1..3]ｖ_k（∂ｖ_i/∂ｘ_k）］
　　　＝−∂ｐ/∂ｘ_i＋∂σ_{ik}/∂ｘ_ｋ＋ｆ　

これが、Navier=Stokes方程式になります。これを計算整理すると、見慣れた形になります。


------------->>粘性項(σ_{ik})の座標（ｘ_k）微分：∂σ_{ik}/∂x_k　の計算整理
※粘性係数（ξ、η）が、座標(ｘ_ｋ)に依存しないと仮定したモデルで考えます。

∂σ_{ik}/∂ｘ_k
＝ ξ[ ∂∂ｖ_i/∂ｘ_k＾２ 
　　＋ ∂∂ｖ_k/∂ｘ_ｋ∂ｘ_i　
　　−（２/３）δ_{ik}∂∂ｖ_j/∂ｘ_j∂ｘ_k］
＋　ηδ_{ik}∂∂ｖ_j/∂ｘ_j∂ｘ_ｋ

＝ ξ[ ∂∂ｖ_i/∂ｘ_k＾２ 
　　＋ ∂∂ｖ_k/∂ｘ_ｋ∂ｘ_i　
　　−（２/３）∂∂ｖ_j/∂ｘ_j∂ｘ_i］
＋　η∂∂ｖ_j/∂ｘ_j∂ｘ_i

＝ξ[ ∂∂ｖ_i/∂ｘ_k＾２ 
　　＋ ∂∂ｖ_k/∂ｘ_ｋ∂ｘ_i　
　　−（２/３）∂∂ｖ_k/∂ｘ_k∂ｘ_i］
＋　η∂∂ｖ_j/∂ｘ_j∂ｘ_i

＝ξ∂∂ｖ_i/∂ｘ_k＾２ 
＋ξ（１/３）∂∂ｖ_k/∂ｘ_ｋ∂ｘ_i　
＋　η∂∂ｖ_j/∂ｘ_j∂ｘ_i

＝ξ∂∂ｖ_i/∂ｘ_k＾２ 
＋ξ（１/３）∂∂ｖ_k/∂ｘ_ｋ∂ｘ_i　
＋　η∂∂ｖ_ｋ/∂ｘ_ｋ∂ｘ_i

＝ξ∂∂ｖ_i/∂ｘ_k＾２ 
＋[ξ（１/３）+η]∂∂ｖ_k/∂ｘ_ｋ∂ｘ_i　

＝ξ∇・（∇ｖ）＋[ξ（１/３）+η]∇（∇・ｖ）

---------------->>>
　∂σ_{ik}/∂ｘ_k＝ξ∇・（∇ｖ）＋[ξ（１/３）+η]∇（∇・ｖ）
から、(NS-eq.)★★★は、もう少し整理されて、よくみた形で、ベクトル表現すると、

(NS-eq.)★★★
ρ［∂ｖ_i/∂ｔ＋　Σ[k=1..3]ｖ_k（∂ｖ_i/∂ｘ_k）］
　　＝−∂ｐ/∂ｘ_i＋∂σ_{ik}/∂ｘ_ｋ＋ｆ

⇔　ρ［∂ｖ/∂ｔ＋（ｖ・∇）ｖ］
　　＝−∇ｐ＋ξ∇・（∇ｖ）＋[ξ（１/３）+η]∇（∇・ｖ）＋ｆ
　　＝−∇ｐ＋ξ△ｖ＋[ξ（１/３）+η]∇（∇・ｖ）＋ｆ

これが、NS方程式です！！　※△＝∇＾２＝∇・∇＝ラプラシアン

------------------->>

　左辺の（ｖ・∇）ｖが、非線型項になります。
（∵）
　ｖ　⇒　Aｖ_1＋Bｖ_2　の線形結合　
としたときに
（ｖ・∇）ｖ　
⇒（［Aｖ_1＋Bｖ_2］・∇）（Aｖ_1＋Bｖ_2）
　≠A（ｖ_1・∇）ｖ_1 + B（ｖ_2・∇）ｖ_2
なので、非線型項にあたります。