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8月15日に、Stromdorfさんは書きました。

Storomdorffさん始めまして lunatic moonと申します。

＞HTMLで数学と物理を１から解説するページを作っているものです。

１を何処に置くかが問題ですよね。
Bourkbakiだと、存在記号を定義する所から始まっています。
SGAだと universeの話まで書いてあります。

＞任意の超フィルターが収束する位相空間という「コンパクト」
の定義を位相空間のフィルターに対しても拡張して、フィルター Φ は、それより細
＞かい任意の超フィルターが収束するとき Φ はコンパクトであるとよぶことにします。

基本的にfilterは、Bourbakiの位相 と トレーブの 「超関数 核 層」
（タイトルの記憶が不鮮明ですが こんな様な名前だった気がします。）
に詳しく載っています。

＞このときハイネ・ボレルと類似の結果が成り立ち、

普通のハイネ・ボレルは R^n のｎを利用しています。
（区間縮小する時、1/2^n等分する処で）
これを「縮小する操作」という部分を抽出して 条件にしてしまったのが
距離空間での全有界性です。
距離空間は近傍に関する可算公理が成立しているので、そこの部分を
点列をfilterに置き換える様にして補えば、証明できます。

＞ススリン空間（可分完備距離空間の連続像と書ける正則な位相空間）
＞を一般化したK-解析的空間（σコンパクト空間の可算個の共分と位相同形な正則空間）
＞を特徴付けるのにうまく利用できることをそのとき見つけました。

これは、うる覚えの記憶ですが、Bourbakiの位相で見た事ある様な気がします。
（間違っていたらすみません）

＞その応用例として位相群の間の閉グラフ定理の拡張があります。

これhすぐに証明を思い付きません。
多分 位相群なので、Cauchy filterが定義できるから それによる閉の特徴づけを
利用してproto typeの証明をなぞれば、出来るのでしょうか？

こうやって証明できるなら
私は不勉強なのですが、 
Bourbakiの線形位相空間に載っていそうですね。

＞このような定義とか理論とかは既にどこかに解説されているものなのでしょうか？

兎に角 体系的な教科書を作るのでしたら、数学辞典とかBourbakiとかは参考になると
思います。
月並みなコメントですみません。

又 此所から触発されて考えた事を「数学の教科書」というタイトルで別の投稿に書きます。