Def.)空でない集合Vに対して、
次の法則を満たす２種類の演算が定義されているときVをF-線形空間という。

※ここでFは体です。
詳しくは、笠原による代数の講義ノートに掲載してます。

※上のようにＦ-線形空間に内積が定義された場合、F-計量線形空間といいます。

Def.)Vの元aに対して√（a,a）をaのノルムといい、||a||と表す。

Def.)Vの２元a,bに対して（a,b)=0のとき、a,bは直交しているといい、a⊥bと表す。

Def.)F-線形空間Vの部分集合Wが次の条件をみたすとき、WをVの線形部分空間または部分空間という。

Th.)F-線形空間Vの線形部分空間Wは、またF-線形部分空間である。

Th.)F-線形空間Vの空でない部分集合Sに対して、Sの有限個の元の線形結合全体からなるVの部分集合

{α1a1+α2a2+・・・+αpap；a1,a2,・・・,ap∈S、α1、α2、・・・、αp∈F}

はVの線形部分空間となる。
これをSにより生成される線形部分空間といい、<S>とあらわす。
その部分集合Sにより生成される線形部分空間<S>と一致するとき、SをVの生成系という。

Th.)線形空間Vの線形部分空間W1、W2に対してその共通部分

　　　　　　　　　W1∩W2

は、またVの線形部分空間となる。

Def.)線形空間Vの部分空間W1、W2の合併集合W1∪W2は必ずしも部分空間とはならない。
そこでこれらを含む最小の部分空間を考え,これをW1、W2の和空間ということにする。

　　　　　　　　　W1+W2

と表すことにする。

Th.)Vを線形空間、W1、W2をその線形部分空間とする。
このときW1、W2の和空間W1+W2は、次のように与えられる。

{a１+a２；a１∈W1、a２∈W2}

Def.)線形空間Vが、二つの部分空間W1、W2の和空間であり、かつW1∩W2=0のとき、VはW1、W2の直和であるといい、

　　　　　　　　　V=W1 W2

と表す。
一般に、Vがp個の部分空間W1、W2、・・・、Wｐの和空間、
かつ、

　　　　　　Wi∩(W1+・・・+Wi-1+Wi+・・・+Wp)={0}　(1≦i≦p)

のとき、VをW1、W2、・・・、Wpの直和といい、次のように表す。

　　　　　　V=W1 W2 ・・・ Wp-1 Wｐ

TH.)線形空間Vを、線形部分空間W1、W2の和空間とすれば、次の二つは同値である。

(1)V=W1 W2

(2)Vの任意の元は、W1、W2の元により一意的に表される。

Def.)Vのベクトルの組に｛ａ１、ａ２、・・・、ａｐ｝が、自明でない線型関係式

　　　　　α１ａ１＋α２ａ２＋・・・＋αｐａｐ＝０、αｉ∈Ｆ　(ｌ≦ｉ≦ｐ)

　　　　　(α１、α２、・・・、αｐ)≠(０、０、・・・、０)

を持つ時、これらのベクトルの組は線型従属であるという。
また、自明な線型関係式以外の線型関係式を持たぬベクトルの組を線型独立であるという｡　

Def.)線型空間Ｖ≠{０}が、有限個の元よりなる生成系を少なくともひとつもつとき、Ｖは有限次元であるという。
このようなＶの生成系が一つも存在しない時、ｖは無限次元であるという。

TH.)(１)Ｖ≠{０}を有限次元線型空間とする。このとき、Ｖは線型独立なベクトルの組から成る生成系Ｅをもつ。

(２)Ｖの線型独立な生成形の選び方は一通りとは限らないが、これを構成するベクトルの数は一定である｡。

(３)Ｖの任意のベクトルは、Ｅのベクトルの線型結合として、一意的に表される。

Def.)有限次元線型空間Ｖ≠{０}において、線型独立な生成系に順序を定めたもの

　　　　　　　　Ｅ＝｛ａ１、ａ２、・・・、ａｎ}

をＶの基底という。
基底を構成するベクトルの数ｎをＶの次元といい、

　　　　　　　　ｄｉｍＶ

と表す｡

TH.)Ｖ≠{０}をｎ次元線型空間とする。

(１)Ｖに含まれるｍ個のベクトルの組

　　　　　　　　　　　{ｂ１、ｂ２、・・・、ｂｍ}

が線型独立であれば、ｍ≦ｎでなければならない。

(２)ｍ＜ｎの時、これらにｎ−ｍ個のベクトルを付け加えて、Ｖの基底を作ることができる。

TH.)Ｖを有限次元線型空間、Ｗ１、Ｗ２をその線型部分空間とする。
このとき和空間Ｗ１＋Ｗ２の次元について

　　　　　　　　ｄｉｍ(Ｗ１＋Ｗ２)＝ｄｉｍＷ１＋ｄｉｍＷ２ーｄｉｍ（Ｗ１∩Ｗ２）

が成り立つ。さらにこの和空間が直和であれば、等式

　　　　　　　　ｄｉｍ（Ｗ１Ｗ２）＝ｄｉｍＷ１＋ｄｉｍＷ２

が成立する｡

Def.)Ｖ≠{０}を有限次元Ｆ-計量線型空間とする。
Ｖの０でないお互いに直交するベクトルからなる部分集合Ｅ＝{ａ１、ａ２、・・・、ａｎ}は線型独立である。
これを直交系という。
直交系Ｅの各ベクトルのノルムが全て１であるものを正規直交系といい、さらにこれがＶの生成系となるとき、ＥをＶの正規直交基底という。

TH.)グラムシュミットの直交化法
Ｖ≠{０}を有限次延Ｆ-計量線型空間、Ｅ＝{ａ１、ａ２、・・・、ａｎ}をＶの基底とする。
このときＦ＝{ｂ１、ｂ２、・・・、ｂｎ}を次のように定めれば、ＦはＶの正規直交基底となる。

　　　　　　　　　　ｂ１＝||ａ１||^−１ａ１　(ｉ＝１)
　　　　　　　　　　ｂｉ＝||ｂｉ||^-1ｂｉ’　　(２≦ｉ≦ｎ)

ただし　ｂｉ’＝ａｉーΣ(ａｉ、ｂｊ)ｂｊ　　(１≦ｊ≦ｉー１)　　　　　　　　　　　　　　

Def.)Ｖ、ＷをＦ-線型空間とする。ＶからＷへの写像ｆが次の性質を満たす時、ｆを線型写像という。

(Ｆ．１)ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)　(ｘ、ｙ∈Ｖ)
(Ｆ．２)ｆ(αｘ)＝αｆ(ｘ)

Def.)ｆを線型写像とするとき、ｆによるＶの像全体

　　　　　　　　　ｆ(Ｖ)＝{ｆ(ａ)；ａ∈Ｖ}

は部分空間となる。これをｆの像空間という。
ｆによりＷの零元に移されるＶの元全体

　　　　　　　　　ｆ^−１(０)＝{ａ∈Ｖ；ｆ(ａ)＝０}

はＶの部分空間となる。これをｆの核という。

ｆ(Ｖ)＝ＷとなるときｆをＷの上への写像、ｆ^−１(０)＝{０}となるときｆを１対１の写像という。
またｆ(Ｖ)＝{０}となる写像を零写像という。

像空間ｆ(Ｖ)が有限次元のときその次元をｆの階数、核ｆ^−１(０)が有限次元の時その次元をｆの退化次数といい、

　　　　　　　　　ｒａｎｋ(ｆ)　　　　　ｎｕｌ(ｆ)

で表す。

とくに、ｆがＶからＶ自身への線型写像である時ｆを線型変換とよぶ。
Ｖの各元をその元自身に移す変換は、１対１かつＶの上への線型変換であり、これを恒等変換という。

TH.)V、Wを有限次元線型空間、ｆをVからWへの線型写像とする。
このとき次の等式が成り立つ。

　　　　　　ｄｉｍＶ＝ｒａｎｋ(ｆ)＋ｎｕｌ(ｆ)

ＴＨ．）Ｕ、Ｖ、Ｗを有限次元線型空間、ｆ、ｇをそれぞろＵからＶ、ＶからＷへの線型写像する。
このとき次の不等式が成り立つ。

　　　　　　ｒａｎｋ（ｇ・ｆ）≧ｒａｎｋ（ｆ）＋ｒａｎｋ（ｇ）ーｄｉｍＶ

Ｄｅｆ．）Ｖ、ＷをF-線型空間とする。
VからWへの線型写像φが次の条件を満たす時、φを同型写像という。

　　（J．１）φは１対１の写像である。
　　（Ｊ．２）φはＷの上への写像である。

Ｄｅｆ．）ＶからＶ自身への同型写像を正則線型変換という。
恒等変換は正則線型変換である。

Ｄｅｆ．）ＶからＷへの同型写像がそんざいするとき、　Ｖ，Ｗへの同型写像が存在する時、ＶとＷは同型であるといい、次のように表す｡

　　　　　　　ＶＷ

ＴＨ．）Ｕ，Ｖ，ＷをF-線型空間とする。このとき、

(Ｋ．１)ＶＶ
(Ｋ．２)ＶＷならばＷＶ
(Ｋ．３)ＵＶ、ＶＷならばＵＷ

が成り立つ。

Ｄｅｆ．）Ｖをｎ次元F-線型空間、Ｅ＝{ａ１、ａ２、・・・、ａｎ｝をVの基底とする。
このときVからｎ次元数ベクトル空間F^ｎへの同型写像φＥを構成しよう。
Ｖの任意の元ｘは、Ｅの元の線型結合によりつぎのように表されているものとする｡

　　　ｘ＝ｘ１ａ１＋ｘ２ａ２＋・・・＋ｘｎａｎ　　　(ｘ１、ｘ２、・・・、ｘｎ∈Ｆ)

このときＶからＦ^ｎへの同型写像φＥを次のように定める。

　　　φＥ：ｘ→[ｘ１　ｘ２　・・・　ｘｎ]^ｔ　 　　　　(Ｖ→Ｆ^ｎ)

これをＶの基底Ｅにより定まるＶからＦ^ｎへの同型写像という。
また[ｘ１　ｘ２　・・・　ｘｎ]^ｔを基底Ｅに関するｘの成分という。

ＴＨ．）
（１）Ｖをｎ次元F-線型空間、Ｅをその基底とすれば、

　　　　φＥ：ｘ→[ｘ１　ｘ２　・・・　ｘｎ]^ｔ　 　　　　(Ｖ→Ｆ^ｎ)

が定まる。

（２）二つの有限次元Ｆ-線型空間Ｖ、Ｗが同型となる必要十分条件は、それらの次元が等しいことである。

Ｖ、ＷをＦ−計量線型空間とする。ＶからＷへの同型写像φが内積を変えないとき、すなわち

　　　　　　　　（φ（ｘ）、φ（ｙ））ｗ＝（ｘ、ｙ）ｖ

をみたすとき、　φを計量同型写像という。このとき逆写像φー１はＷからＶへの計量同型写像となっている。
特にＶからＶ自身への計量同型写像をユニタリ変換という｡
Ｆ＝Ｒのとき、ユニタリ変換を直交変換ともいう。

Ｖ、Ｗをそれぞれｎ、ｍ次元、ｍ次元のＦ−線型空間、

　　　　　　　　　Ｅ＝{ａ１、ａ２、・・・、ａｎ}、Ｆ＝{ｂ１、ｂ２、・・・、ｂｎ}

をそれぞれＶ，Ｗの基底とし、これらの基底より定まるＶからＦ^ｎ、WからFｍへの同型写像をφE、ψFとする。
ｆをVからWへの線型写像とする時ｆを行列で表すことをかんがえよう。
V、Wをそれｒぞれ同型写像φE、ψFでFｎ、Fmに移して考えれば、ｆに対してFnからFｍへの線型写像

　　　　　　　　　　　　　　　　φF・ｆ・ψE

が得られる。これはｎ次元数ベクトル空間からｍ次元数ベクトル空間への線型写像であるから、（ｍ、ｎ）行列で表される。
この行列をAfと表し、基底E、Fに関するｆの行列表現という。

Ｅ＝{ａ１、ａ２、・・・、ａｎ}、Ｅ’＝{ａ１’、ａ２’、・・・、ａｎ’}をｎ次元Ｆ−線型空間Ｖの二つの基底とし、φE、ψE’をそれぞれE,E'により定まるVからF^ｎへの同型写像とする｡
このときFｎからFｎへの同型写像φE・ψE’^{−１に対応するｎ次正方行列PをEよりE’への基底の変換の行列という。
とくにVがｎ次元Ｆ−計量線型空間であり、E、E'がVの正規直交基底であれば、EよりE’への基底の変換の行列Pは、}

^{PP*＝P*P＝En}

を満足する。このような行列をユニタリ行列という。
F＝Rのとき、P*＝^tPであり、^PtP＝tPP＝Eｎを満足する行列を直交行列ともいう。

TH.)V、Wをそれぞれｎ次元、ｍ次元のF-線型空間、fをVからWへの線形写像とする。
E,E'をVの二つの基底、F、F'をWの二つの基底、P、QをそれぞれEよりE'、FよりF'への基底の変換の行列、Af、Aｆ’をそれぞれ基底E、F、基底E',F'に関するfの行列表現とすれば、次の等式が成り立つ。

　　　　　　　　　　　　　　Aｆ’＝Q^−１AfP

特にｆがVの線型変換であれば、Vの基底EよりE'への変換により

　　　　　　　　　　　　　　　Aｆ’＝P^−１AfP

と表される。

ｎ次正方行列A、Bに対して、B＝P^−１APとなる正則行列Pが存在する時、AとBは相似であるといい、次のように表す。

　　　　　　　　　　　　　　　A〜B

VをF−線型空間とし、fをVの線型変換とする。Vのベクトルａ≠０に対して、

　　　　　　　　　　　　　　f(a)＝λa

となるFの元λが存在する時、aをλに属するfの固有ベクトルといい、λをfの固有値という。
また固有値λに属する固有ベクトルの全体と０からなる集合

　　　　　　　　　　　　Vλ＝{a∈V；f（a）＝λa}

Vλをλに属するfの固有空間という。
はVの部分空間である。
Vλをλに属するfの固有空間という。
Aがn次正方行列Eあるとき、Aによって定まるFnの線型変換”x→Ax”の固有値、固有ベクトル、固有空間を
それぞれの行列Aの固有値、固有ベクトル、固有空間という。

TH.)n次元線型空間における線型変換fの相異なる固有値に対する固有ベクトルは線型独立である｡

Aをｎ次正方行列とするとき、変数ｔの多項式

　　　　　　φA（ｔ）＝｜A−ｔEｎ｜＝（−１）ⁿ（ｔ^ｎ＋αｎ−１t^n-1＋・・・＋α１t＋α０）

を固有値という。
このとき

　　　　　　αn-1＝−TrA、α０＝(−１)^ｎ｜A｜

である。

TH.)Aをｎ次正方行列とする。λがAの固有値であるための必要十分条件は、λがφA（ｔ）＝０の解となることである。

Aをn次正方行列とするとき、適当な正則行列Pにより

　　　　　　P−１AP＝[λii]i＝１＝Λ　　　(１≦i≦ｎ)

となるとき、Aは対角化可能であるという。
こｔのときAは対角行列と相似になる。

TH,)AをMnn（F）の行列、Aの相異なる固有地をλ１、λ２、・・・、λｍ、それらの重複度をｌ１、ｌ２、・・・、ｌｍ、Σｌi＝ｎとする。
このとき次の条件は同値である。

(１)Aは対角化可能である。

(２)ｄｉｍＶλ＝ｌi　　　(i＝１、２、・・・、ｍ)

特にAがｎ個の相異なる固有値をもつならば、Aは対角化可能である。